מסתורי המספרים

פרק 1 המקרה המוזר של המספרים הראשוניים שלא נגמרים

1, 2, 3, 4, 5, ... – נראה כל כך פשוט: מוסיפים 1 ומקבלים את המספר הבא. פשוט פשוט, אבל בלי המספרים אנחנו אבודים. ארסנל נגד מנצ'סטר יונייטד – מי ניצח? אנחנו לא יודעים; שתי הקבוצות הבקיעו הרבה. רוצים לחפש משהו במפתח הספר? ובכן, ההסבר לגבי הזכייה בלוטו מופיע איפשהו באמצע. והלוטו עצמו? אין סיכוי בלי מספרים. די מדהים עד כמה חיונית שפת המספרים לשם התמודדות עם העולם.

המספרים חיוניים אפילו בממלכת החי. להקות של בעלי חיים מחליטות להילחם או להימלט לפי גודל הלהקה היריבה, אם היא קטנה או גדולה מן הלהקה שלהן. יצר ההישרדות שלהן תלוי בחלקו ביכולת מתמטית. אלא שמאחורי הפַּשטוּת לכאורה של רשימת המספרים, טמונה אחת התעלומות הגדולות של המתמטיקה.

2, 3, 5, 7, 11, 13, ... – אלה הם המספרים הראשוניים שאינם ניתנים לחלוקה, ומהווים את אבני הבניין של כל שאר המספרים – המימן והחמצן של עולם המתמטיקה. הגיבורים הראשיים האלה שבליבו של סיפור המספרים הם מעין אבני חן המשובצות במרחב המספרים האינסופי.

למרות חשיבותם של המספרים הראשוניים, הם אחד המקרים המביכים והמתסכלים ביותר שאנחנו נתקלים בהם בחיפוש שלנו אחר הידע. איתור מספרים ראשוניים הוא תעלומה מוחלטת, שכן מתברר שאין שום נוסחת קסם שתיקח אותנו ממספר ראשוני כלשהו אל הבא אחריו. המספרים הראשוניים הם מעין אוצר בלום – ולאף אחד אין מפה שתוביל אל המטמון.

בפרק הזה נברר מה ידוע לנו לגבי המספרים המיוחדים האלה. במשך המסע נגלה איך ניסו תרבויות שונות לערוך רשימות של מספרים ראשוניים ולתוּר אחר מספרים ראשוניים נוספים, ואיך מוזיקאים השתמשו בהם במקצבי הפְּעָמוֹת שלהם. נגלה מדוע משמשים המספרים הראשוניים לתקשורת עם חוצנים ואיך הם עוזרים לשמור על סודיות באינטרנט. בסוף הפרק אחשוף בפניכם תעלומה מתמטית הקשורה למספרים הראשוניים, אשר אם תפצחו אותה תוכלו לשלשל לכיסכם מיליון דולר. אבל לפני שנתמודד עם אחת החידות הגדולות של המתמטיקה, בואו נתחיל באחת התעלומות המספריות הגדולות של הזמן הזה.

מדוע בחר בֶּקהאם בחולצה מספר 23?

כשעבר דייוויד בקהאם לריאל מדריד, בשנת 2003, הועלו השערות רבות באשר לשאלה מדוע הוא בחר לשחק בחולצה מספר 23. רבים חשבו שזו בחירה משונה, אחרי שבנבחרת אנגליה ובמנצ'סטר יונייטד שיחק בקהאם בחולצה מספר 7. הבעיה היתה שחולצה מספר 7 בריאל מדריד כבר היתה של רָאוּל, והספרדי לא התכוון לוותר עליה לטובת נער הזוהר מאנגליה.

תיאוריות רבות הועלו כדי להסביר את הבחירה של בקהאם, והפופולרית ביותר היא תיאוריית מייקל ג'ורדן. ריאל מדריד רצתה לפרוץ אל השוק האמריקאי ולמכור חולצות רבות ככל האפשר לאוכלוסייה האמריקאית הענקית, אבל כדורגל אינו משחק פופולרי בארצות הברית. האמריקאים אוהבים כדורסל ובייסבול, משחקים שנגמרים בתוצאה כמו 98-100 ושיש בהם מנצח ברור. הם לא יכולים להבין מה הטעם במשחק שנמשך 90 דקות ועשוי להסתיים ב-0-0 אחרי שאף קבוצה לא הבקיעה או ניצחה.

על פי התיאוריה הזאת, ריאל מדריד עשתה את שיעורי הבית שלה ומצאה שהכדורסלן המפורסם בעולם, מעבר לכל ספק, הוא מייקל ג'ורדן, הקלע הפורה ביותר של השיקגו בּוּלְס. ג'ורדן לבש את הגופייה מספר 23 לאורך כל הקריירה שלו. כל שהיה על ריאל מדריד לעשות הוא להדפיס את המספר 23 על גב של חולצת כדורגל, להחזיק אצבעות ולקוות שהקשר לג'ורדן יפעל את קסמיו ויאפשר לה לפרוץ אל השוק האמריקאי.

היו שחשבו שמדובר בהסבר ציני מדי, אבל הציעו תיאוריה מרושעת עוד יותר. יוליוס קיסר נרצח ב-23 דקירות בגבו. האם הבחירה של בקהאם לשאת את המספר על גבו שלו היא אות מבשר רעות? אחרים שיערו שהבחירה קשורה אולי לאהבתו של בקהאם לסדרת הסרטים "מלחמת הכוכבים" (בסרט הראשון נכלאה הנסיכה ליאה באזור המעצר AA23). או שמא בקהאם הוא חבר חשאי בכת הדיסְקוֹרְדיאניסטים, כת מודרנית הסוגדת לכּאוֹס ועוסקת בכפייתיות מָגית במספר 23?

אלא שלמראה המספר של בקהאם מייד עלה בדעתי פתרון מתמטי יותר. 23 הוא מספר ראשוני. מספר ראשוני הוא מספר שמתחלק רק בעצמו וב-1. 17 ו-23 הם מספרים ראשוניים מכיוון שלא ניתן לכתוב אותם כמכפלה של שני מספרים קטנים יותר, בעוד ש-15 אינו מספר ראשוני כי 5×3=15. המספרים הראשוניים הם המספרים החשובים ביותר במתמטיקה מכיוון שכל המספרים השלמים האחרים מורכבים ממכפלות של מספרים ראשוניים.

קחו לדוגמה את 105. ברור שהמספר הזה מתחלק ב-5. לכן אפשר לכתוב 21×5=105. 5 הוא מספר ראשוני, מספר אי-פָּריק, אבל 21 אינו מספר ראשוני: אפשר לכתוב אותו כ-7×3. על כן ניתן לכתוב את 105 כ-7×5×3. אבל אפשר להגיע רק עד כאן. הגענו אל המספרים הראשוניים, המספרים האי-פְּריקים שמהם בנוי המספר 105. אפשר לעשות זאת עם כל מספר, כיוון שכל מספר הוא או מספר ראשוני אי-פָּריק או מספר שאינו ראשוני וניתן לפרק אותו למכפלה של מספרים אי-פְּריקים קטנים יותר.

איור 1.01

המספרים הראשוניים הם אבני הבניין של כל המספרים. ממש כפי שהמולקולות מורכבות מאטומים כמו מימן או חמצן או נתרן או כלור, המספרים מורכבים ממספרים ראשוניים. בעולם המתמטיקה, המספרים 2, 3 ו-5 שקולים למימן, הליום וליתיום וזה מה שעושה אותם למספרים החשובים ביותר במתמטיקה. אבל ברור שהם חשובים גם לריאל מדריד.

כשהתבוננתי קצת יותר מקרוב בקבוצת הכדורגל של ריאל מדריד, התחלתי לחשוד שאולי על ספסל הקבוצה יושב גם מתמטיקאי. ניתוח פשוט של המצב מלמד שכאשר עבר לשם בקהאם, כל כוכבי הקבוצה שיחקו בחולצות עם מספרים ראשוניים: קרלוס (מעוז ההגנה) עם מספר 3, זידאן (לב הקישור) עם מספר 5, ראול ורונלדו הראשון הברזילאי (מובילי ההתקפה של ריאל) עם המספרים 7 ו-11. היה זה כנראה בלתי נמנע, אם כך, שבקהאם קיבל מספר ראשוני, מספר שאליו הוא נקשר מאוד. כשעבר לקבוצת לוס אנג'לס גָלַקְסי התעקש בקהאם לקחת עימו את המספר הראשוני בניסיון לחזר אחר הקהל האמריקאי עם המשחק היפהפה הזה.

אולי נשמע לכם לגמרי לא הגיוני שדברים מעין אלה ייאמרו מפיו של מתמטיקאי, שאמור להיות אדם בעל יכולת חשיבה לוגית אנליטית. אלא שגם אני משחק בחולצה שעליה מספר ראשוני – בקבוצת הכדורגל שלי, רֶקרֵאָטיבוֹ הָאקְני – ולכן אני חש קשר מסוים אל שחקן מספר 23. הקבוצה שלי, שמשחקת בליגת החובבים של יום ראשון, אינה גדולה כמו ריאל מדריד, ולכן לא היתה לנו חולצה מספר 23, אז בחרתי ב-17, מספר ראשוני נחמד למדי, כפי שנראה מאוחר יותר. אבל בעונה הראשונה שלנו הקבוצה לא שיחקה טוב במיוחד. אנחנו משחקים בבית 2 של ליגת סוּפֶּר-סאנדֵיי של לונדון, ובעונה ההיא סיימנו ממש בתחתית. למרבה המזל, זה הבית הנמוך ביותר בלונדון, כך שמכאן אפשר רק לעלות.

נבחרת החלומות של המספרים הראשוניים

הורידו את קובץ ה-PDF למשחק הזה מאתר מסתו7י המס9רים. על כל משתתף לגזור שלושה שחקנים, לבחור כמה מספרים ראשוניים שונים ולכתוב אותם על גב השחקנים. השתמשו באחד מכדורי הרגל האפּלטוֹניים מפרק 2 (עמ' 86).

המשחק מתחיל עם שחקן מקבוצה מספר 1. המטרה היא לעבור את שלושת שחקני הקבוצה היריבה. היריב בוחר את השחקן הראשון שינסה לתקל את השחקן של קבוצה 1. הטילו את הקובייה. לקובייה שש פאות: 3 לבן, 5 לבן, 7 לבן, 3 שחור, 5 שחור ו-7 שחור. הקובייה תורה לכם לחלק את המספר הראשוני שלכם ואת המספר הראשוני של שחקן היריב ב-3, ב-5, או ב-7 ולחשב את השארית. אם תקבלו 3, 5, או 7 לבן, השארית שלכם צריכה להיות שווה או גדולה מזו של היריב. אם תקבלו שחור, עליכם להיות שווים או קטנים מיריביכם.

כדי לכבוש, עליכם לעבור את כל שלושת השחקנים, ואז להתמודד מול מספר ראשוני אקראי שבוחר היריב. אם היריב גובר עליכם באחד השלבים, הכדור עובר אליו. שחקן היריב שמשתלט על הכדור צריך לנסות ולעבור את שלושת השחקנים של הקבוצה הראשונה. אם קבוצה 1 מחמיצה את הבעיטה לשער, אחד משחקני קבוצה 2 מקבל את הכדור.

אפשר לשחק על זמן או לקבוע שהמנצח הוא מי שמבקיע שלושה שערים.

ואולם, איך יכולנו לשפר את המיקום שלנו בליגה? ריאל מדריד אולי עלתה על משהו – האם יש איזשהו יתרון פסיכולוגי למשחק בחולצה עם מספר ראשוני? אולי רבים מדי מאיתנו שיחקו בחולצה ועליה מספר שאינו ראשוני, כמו 8, 10 או 15. בעונה שלאחר מכן שיכנעתי את חברי לקבוצה להחליף את התלבושות שלנו, וכולנו שיחקנו ועל גבנו מספרים ראשוניים: 2, 3, 5, 7, ... עד 43. זה שידרג אותנו. עלינו לבית 1, ושם למדנו מהר מאוד שמספרים ראשוניים מספיקים להחזיק מעמד עונה אחת. ירדנו בחזרה לבית 2, ועכשיו אנחנו מצויים בעיצומו של חיפוש אחר תיאוריה מתמטית שתיתן לנו זריקת עידוד.

האם השוער של ריאל מדריד צריך ללבוש את חולצה מספר 1?

אם שחקני המפתח של ריאל מדריד לובשים מספרים ראשוניים, איזו חולצה צריך ללבוש השוער? או בשפה מתמטית, האם 1 הוא מספר ראשוני? ובכן, כן ולא (זה בדיוק סוג השאלות המתמטיות שכולם אוהבים – שתי התשובות נכונות). לפני מאתיים שנה כללו טבלאות המספרים הראשוניים את המספר 1 בתור המספר הראשוני הראשון. אחרי הכול, הוא אינו פָּריק, מכיוון שהמספר השלם היחיד שמחלק אותו הוא הוא-עצמו. אבל כיום אנחנו אומרים ש-1 אינו ראשוני, מכיוון שהדבר החשוב ביותר לגבי המספרים הראשוניים הוא היותם אבני הבניין של המספרים. אם אכפיל מספר במספר ראשוני, אקבל מספר חדש. אף על פי ש-1 אינו פָּריק, אם אכפיל מספר ב-1 אקבל את המספר שהתחלתי בו, ועל סמך זה אנחנו מנפים את 1 מרשימת המספרים הראשוניים ומתחילים ב-2.

ברור שריאל מדריד אינה הראשונה שמגלה את עוצמת המספרים הראשוניים. איזו תרבות היתה הראשונה – היוונים הקדמונים? הסינים? המצרים? במרוץ לגילוי המספרים הראשוניים, מתברר, נוצחו המתמטיקאים בידי חרק מוזר.

מדוע זן אמריקאי של ציקָדוֹת אוהב את המספר הראשוני 17?

ביערות צפון אמריקה שוכן זן של ציקדות בעל מחזור חיים מוזר ביותר. במשך 17 שנים מסתתרות הציקדות מתחת לפני האדמה ואת עיקר זמנן הן מעבירות בכך שהן מוצצות את לשד שורשי העצים. ואז, בחודש מאי של השנה השבע-עשרה, הן עולות יחד אל פני השטח ופולשות אל היער – עד רבע מיליון מהן לדונם.

הציקדות שרות זו לזו בניסיון למצוא זיווג. כולן יחד מקימות רעש רב כל כך עד שלעיתים קרובות נאלצים תושבי המקום לעזוב את בתיהם בתקופת הפלישה הזאת שבשנה השבע-עשרה. בוב דילן קיבל השראה לשירו "יום הארבֶּה" כששמע את קָקוֹפוֹניית הציקדות שעלו אל היער סביב פּרינסטוֹן. היה זה כשקיבל תואר כבוד מן האוניברסיטה ב-1970.

אחרי שמצאה זיווג והופרתה, מטילה כל אחת מן הנקבות כ-600 ביצים מעל לפני הקרקע. ואז, כעבור שישה שבועות של הילולה, מתות כל הציקדות, ודממה שורה שוב על היער לעוד 17 שנים. הדור הבא של הביצים בוקע באמצע הקיץ והחרקים הצעירים יורדים אל אדמת היער ומתחילים להתחפר בקרקע, עד שהם מוצאים שורש שיזין אותם בזמן שיחכו 17 שנים נוספות למסיבת הציקדות הגדולה הבאה.

עצם העובדה שהציקדות יודעות שחלפו 17 שנים היא מבצע מדהים של הנדסה ביולוגית. לעיתים נדירות מאוד מקדימה או מאחרת אחת הציקדות לבקוע. המחזור השנתי, שרוב החיות והצמחים מגיבים אליו, נשלט בידי שינויי הטמפרטורות והעונות. שום תופעה ברורה לא מעידה על כך שכדור הארץ השלים 17 מחזורים סביב השמש באופן שעשוי לעורר את יציאת הציקדות מן האדמה.

כמתמטיקאי, הדבר המסקרן ביותר הוא הבחירה במספר 17, שהוא מספר ראשוני. האם יד המקרה היא שגורמת לציקדות לבחור לבלות מספר ראשוני של שנים במחבוא התת-קרקעי שלהן? כנראה שלא. זנים אחרים של ציקדות נשארים מתחת לאדמה 13 שנים, ואחרים מסתפקים ב-7 שנים. שוב, מספרים ראשוניים. מדהים להיווכח כי גם במקרים שבהם ציקדה של 17 שנים מקדימה להופיע, היא לא מקדימה בשנה אחת אלא בדרך כלל ב-4 שנים, כלומר עוברת למחזור של 13 שנים. נראה שבאמת יש משהו הקשור למספרים הראשוניים ועוזר לזני הציקדות השונים. אבל מה זה?

המדענים עדיין לא בטוחים, ובכל זאת הופיעה ועלתה תיאוריה מתמטית שמסבירה את ההתמכרות של הציקדות למספרים ראשוניים. ראשית, כמה עובדות. ביער נתון יש בדרך כלל זן אחד של ציקדות, כך שההסבר לא קשור לחלוקת משאבים בין זנים שונים. ברוב השנים עולה ומופיע זן של ציקדות-מספרים-ראשוניים במקום כלשהו בארצות הברית. 2009 ו-2010 היו שנים ללא ציקדות. בניגוד לכך, ב-2011 אירעה יציאה נרחבת של ציקדות-13-השנים בדרום-מזרח ארצות הברית (גם 2011 הוא מספר ראשוני, אבל איני חושב שהציקדות חכמות עד כדי כך).

התיאוריה המוצלחת ביותר שמסבירה את מחזור החיים הראשוני של הציקדות נוגעת לקיומו האפשרי של חרק טורף, שמופיע גם הוא ביער באופן מחזורי. הוא מתזמן את הופעתו כך שתתאים להופעת הציקדות ואז זולל את החרקים שעלו זה לא כבר אל פני הקרקע. כאן באה לידי ביטוי הברירה הטבעית, שהרי ציקדות שמווסתות את חייהן לפי מחזור הכרוך במספר ראשוני יפגשו את הטורפים הרבה פחות בהשוואה לציקדות בעלות מחזור חיים הכרוך במספר לא ראשוני.

איור 1.02: 100 שנים של יחסי גומלין בין אוכלוסיות של ציקדות בעלות מחזור חיים של 7 שנים לבין טורפים בעלי מחזור חיים של 6 שנים.

נניח למשל, שהטורפים מופיעים בכל 6 שנים. ציקדות שמופיעות בכל 7 שנים ייתקלו בטורפים רק בכל 42 שנים. לעומת זאת, ציקדות שמופיעות בכל 8 שנים ייתקלו בטורפים בכל 24 שנים. ציקדות שמופיעות בכל 9 שנים ייתקלו בהם לעיתים קרובות אפילו יותר – בכל 18 שנים.

איור 1.03: 100 שנים של יחסי גומלין בין אוכלוסיות של ציקדות בעלות מחזור חיים של 9 שנים לבין טורפים בעלי מחזור חיים של 6 שנים.

ביערות צפון אמריקה ניטשה כנראה תחרות אמיתית על מציאת המספר הראשוני הגדול ביותר. הציקדות הצליחו עד כדי כך שהטורפים רעבו או עברו למקום אחר והניחו לציקדות בעלות מחזור החיים הראשוני המשונה. אלא שציקדות אינן כפי הנראה היחידות שמפיקות תועלת מן המקצב הנסתר של המספרים הראשוניים.

הציקדות נגד הטורפים

הורידו את קובץ ה-PDF למשחק הציקדות מאתר מסתו7י המס9רים. גִזרו את הטורפים ואת שתי משפחות הציקדות. מקמו את הטורפים על מספרים שהם כפולות של שש. על כל שחקן לבחור משפחה של ציקדות. השתמשו בשלוש קוביות משחק רגילות והטילו אותן כדי לקבוע בכל כמה זמן תופיע המשפחה שלכם. לדוגמה, אם קיבלתם 8, שימו את הציקדות על כל המספרים שהם כפולות של 8. אם כבר יש טורף על המספר, אי-אפשר לשים שם ציקדה – למשל, אי-אפשר לשים ציקדה על המספר 24 מפני שהוא כבר תפוס בידי טורף. המנצח הוא מי שנותרו לו הכי הרבה ציקדות על הלוח. אפשר לשנות את המשחק על ידי שינוי המחזור של הטורף מ-6 לאיזשהו מספר אחר.

מדוע המספרים 17 ו-29 הם המפתח לקץ הזמן?

בתקופת מלחמת העולם השנייה היה המלחין הצרפתי אוֹליביֶה מֶסיאן שבוי מלחמה בסְטאלג VIII-A, שם מצא בין חבריו למחנה קלרניתן, צ'לן וכנר. הוא החליט להלחין קוורטט לשלושת המוזיקאים האלה ולו עצמו – הוא היה פסנתרן. התוצאה היא אחת מיצירות המוזיקה הגדולות של המאה העשרים, "קוורטט לקץ הזמן". היא בוצעה תחילה לפני קהל אסירים וסוהרים בסטאלג, ומֶסיאן ניגן את חלקו בפסנתר רעוע שנמצא במחנה.

בפרק הראשון, שנקרא "ליטוּרגיית הבדולח", רצה מֶסיאן ליצור תחושה של זמן שלא נגמר, והתברר שהמספרים הראשוניים 17 ו-29 הם המפתח. בעוד הכינור והקלרנית, המייצגים שירת ציפורים, מחליפים נושאים ביניהם, הצ'לו והפסנתר יוצרים את המבנה המקצבי. בחלק לפסנתר יש רצף מקצבי בן 17 תווים שחוזר על עצמו שוב ושוב, ורצף האקורדים המנוגן מעל למקצב הזה מורכב מ-29 אקורדים. בזמן שמקצב 17-התווים מתחיל בפעם השנייה, רצף האקורדים מגיע רק לכדי שני-שלישים שלו. התוצאה של בחירת המספרים הראשוניים 17 ו-29 היא שהרצף המקצבי ורצף האקורדים חוזרים על עצמם רק אחרי נגינה של 29×17 תווים מתוך היצירה.

המוזיקה הזאת, שלא מפסיקה לנוע, יוצרת את תחושת הנצח ששאף מסיאן לכונן – והוא משתמש בתעלול דומה לזה של הציקדות וטורפיהן. נסו לדמיין את הציקדות בתפקיד המקצב ואת הטורפים בתפקיד האקורדים. המספרים הראשוניים 17 ו-29 ערֵבים להעדר התזמון בין שני הרצפים, והיצירה מסתיימת בלי שהספיקה המוזיקה לחזור על עצמה.

איור 1.04: "ליטוּרגיית הבדולח" של מֶסיאן, מתוך "קְוַורְטֶט לקץ הזמן". הקו האנכי הראשון מסמן את סיום הרצף המקצבי בן 17 התווים. הקו השני מסמן את סיום הרצף ההרמוני בן 29 התווים.

מֶסיאן אינו המלחין היחיד שניצל את המספרים הראשוניים במוזיקה. גם אַלְבַּן בֶּרְג השתמש במספרים ראשוניים כבחתימת יד במוזיקה שלו. ממש כמו דייוויד בקהאם, בֶּרְג התגאה במספר 23 – למעשה, היתה לו אובססיה של ממש למספר הזה. היצירה "סוויטה לירית", לדוגמה, מורכבת מרצפים של 23 תיבות מוזיקליות. אלא שבגוף היצירה מושתל משל לפרשיית אהבים של ברג עם אישה נשואה עשירה. המאהבת יוצגה ברצף של 10 תיבות, שנשזר בחתימתו שלו, 23, וכך משתלבות המתמטיקה והמוזיקה כדי להפיח חיים ברומן.

לאחרונה, בדומה לשימוש שעשה מֶסיאן במספרים הראשוניים ב"קוורטט לקץ הזמן", נעשה שימוש במתמטיקה כדי לבנות יצירה שאומנם אינה נצחית, אבל לא תחזור על עצמה במשך אלף שנים. גֶ'ם פַיינֶר, ממייסדי להקת הפּוֹגְז, החליט לציין את תחילת האלף החדש ברובע האיסְט-אֶנד בלונדון ביצירה של פרק מוזיקלי שיחזור על עצמו בפעם הראשונה בתחילת האלף הבא, בשנת 3000. שמה ההולם של היצירה הוא Longplayer.

פַיינֶר עיבד למעשה יצירה מוזיקלית של קערות וגוֹנג טיבטיים בגדלים שונים. היצירה המקורית נמשכה 20 דקות ו-20 שניות, אבל בעזרת מתמטיקה דומה לזו ששימשה בתחבולות של מֶסיאן, הוא הרחיב אותה ליצירה שתימשך אלף שנים. שישה עותקים של המנגינה המקורית מנוגנים בו-זמנית, אבל במהירויות שונות. נוסף על כך, בכל 20 שניות מתחיל כל עותק מחדש במקום מסוים ביצירה, והמקום הזה משתנה בכל פעם. המתמטיקה היא שעוזרת לקבוע איפה יתחיל אותו קטע כדי להבטיח שאוסף העותקים לא יחזור על הניגון במשך אלף שנים.

אפשר להאזין ל-Longplayer

באתר http://longplayer.org

או על ידי סריקת הקוד הזה בעזרת הטלפון הנייד שלכם.

לא רק מוזיקאים מעסיקים עצמם באופן כפייתי במספרים ראשוניים: המספרים האלה מרגשים אמנים מתחומים שונים. הסופר מארק הָאדוֹן השתמש רק במספרים ראשוניים לציון מספרי הפרקים ברב-המכר שלו המקרה המסקרן של הכלב בשעת לילה. המספֵּר הוא כריסטופר, נער עם תסמונת אַספֶּרגֶר, שאוהב את העולם המתמטי מכיוון שהוא מבין איך הוא מתנהג – ההיגיון השולט בעולם הזה פירושו שאין הפתעות. יחסי הגומלין בין בני אדם, לעומת זאת, רצופים חוסר ודאות ותסבוכות שכריסטופר לא מסוגל להתמודד עימן. כריסטופר מסביר, "אני אוהב את המספרים הראשוניים... לדעתי, המספרים הראשוניים הם כמו החיים. הם נורא לוגיים אבל אי-אפשר להבין את החוקים שמאחוריהם, גם אם מעבירים חיים שלמים במחשבות עליהם."

המספרים הראשוניים אפילו הופיעו בקולנוע. בסרט העתידני קְיוּבּ מוצגות שבע דמויות הלכודות במבוך חדרים שדומה לקובייה הונגרית מסובכת. צורתו של כל חדר במבוך היא קובייה ובה שש דלתות המובילות לחדרים נוספים. עם פתיחת הסרט מתעוררים הגיבורים ומוצאים את עצמם בתוך המבוך. אין להם מושג איך הגיעו לשם ועליהם למצוא את הדרך החוצה. הבעיה היא שחלק מן החדרים ממולכדים. על הגיבורים למצוא דרך לדעת אם החדר בטוח לפני שהם נכנסים אליו, שכן צורות שונות של מוות נורא אורבות להם שם – ובכלל זה שריפה עד אפר, איכול בחומצה וקיצוץ לקוביות קטנטנות – כפי שמתגלה להם בדיעבד, כשהם מגלים שאחד מהם נהרג.

אחת הדמויות, ג'וֹאַן, מתמטיקאית מוכשרת, מבחינה לפתע שהמספרים בכניסה לכל חדר הם המפתח לידיעה אם ממתינה להם מלכודת בחדר הבא. הדפוס המסתמן הוא שאם אחד המספרים בכניסה לחדר הוא מספר ראשוני, יש מלכודת בחדר. "איזה יופי של שכל," אומר מנהיג החבורה לנוכח ההיסק המתמטי הזה. אחר כך מתברר שעליהם לחפש גם חזקות של מספרים ראשוניים, מה שמצוי מעבר ליכולות של ג'ואן הפִּקחית. הפעם עליהם לסמוך על חבר אחר בקבוצה, גאון אוֹטיסט, שבסופו של דבר מתברר שהוא היחיד שיוצא בחיים ממבוך המספרים הראשוניים.

כמו שגילו הציקדות זה מכבר, ידע מתמטי הוא המפתח להישרדות בעולם. כל מורה שמתקשה לדרבן את כיתת המתמטיקה שלו ימצא שמקרי המוות העקובים מדם בקְיוּבּ בהחלט יכולים לעזור ולעודד תלמידים ללמוד על המספרים הראשוניים.

מדוע סופרי מדע בדיוני אוהבים מספרים ראשוניים?

סופרי מדע בדיוני שרוצים כי החייזרים שלהם ייצרו קשר עם כדור הארץ, נתקלים בבעיה. האם עליהם להניח שהחייזרים שלהם כה חכמים עד שהצליחו לקלוט את השפה המקומית, או שאולי המציאו מנגנון תרגומי כלשהו בסגנון "דג בָּבֶל"?1 או שמא הם מניחים שכולם ביקום מדברים אנגלית?

אחד הפתרונות שכמה סופרים בחרו בו הוא שהמתמטיקה היא השפה האוניברסלית האמיתית והיחידה, והמילים הראשונות שעל כל אחד לדעת לדבר בשפה הזאת הן אבני הבניין שלה – המספרים הראשוניים. ברומן Contact ("מגע") מאת קארל סייגן, מגלה אֵלי אַרוֹויי, העובדת ב-SETI, פרויקט לחיפוש תבונה חוץ-ארצית, אות רדיו שמתברר כי אינו סתם רעש רקע אלא סדרת פעימות. היא משערת שמדובר בייצוגים בּינָריים של מספרים. היא מתרגמת אותם למספרים עשרוניים ולפתע מבחינה בתבנית: 59, 61, 67, 71, ... – כולם מספרים ראשוניים. וכדי להסיר ספק, שידור האות נמשך וכל המספרים הראשוניים עד 907 חוזרים על עצמם. היא מגיעה למסקנה כי לא ייתכן שמדובר במשהו אקראי. מישהו אומר שלום.

מתמטיקאים רבים סבורים שגם אם בצידו האחר של היקום שוררת ביולוגיה שונה, כימיה שונה ואפילו פיזיקה שונה, המתמטיקה נותרת זהה. יהיה אשר יהיה מי שיושב על כוכב לכת המקיף את וֵגָה וקורא ספר מתמטיקה על המספרים הראשוניים, הוא יראה ב-59 וב-61 מספרים ראשוניים, שכן כדברי המתמטיקאי המפורסם מקיימברידג' ג.ה. הארדי, המספרים האלה הם מספרים ראשוניים "לא כי אנחנו חושבים כך או מכיוון שהמוח שלנו מעוצב כך או אחרת, אלא משום שככה זה, מכיוון שהמציאות המתמטית בנויה באופן כזה".

ייתכן שהמספרים הראשוניים זהים בכל מקום ביקום, ובכל זאת מעניין לחשוב אם סיפורים כמו זה שתיארתי מסופרים גם בעולמות אחרים. האופן שבו חקרנו את המספרים האלה במשך אלפי שנים הוביל אותנו לגילוי אמיתוֹת חשובות לגביהם. בכל שלב בדרך לגילוי האמיתות האלה ניתן לראות את חותמה של נקודת מבט תרבותית מסוימת, את המוטיבים המתמטיים של אותה תקופה בהיסטוריה. האם תרבויות אחרות ברחבי היקום פיתחו נקודות מבט שונות, וכך הגיעו למשפטים מתמטיים שאנחנו טרם גילינו?

קארל סייגן אינו הראשון או האחרון שהציע את המספרים הראשוניים ככלי תקשורת. אפילו נאס"א השתמשה במספרים ראשוניים בניסיונותיה ליצור קשר עם תבונה חוץ-ארצית. ב-1974 שידר טלסקופ הרדיו אָרֵסיבּוֹ שבפוארטו ריקו הודעה לכיוון צביר הכוכבים הכדורי M13, שנבחר בשל מספר הכוכבים העצום בו, מתוך כוונה להגביר את הסיכויים שההודעה תגיע לאוזניים תבוניות.

תמונה 1.05: ההודעה ששודרה באמצעות הטלסקופ באָרֵסיבּוֹ לכיוון צביר הכוכבים M13.

ההודעה הורכבה מסדרה של אפסים ואחדוֹת שניתנים לייצוג גם באמצעות תמונה של פיקסלים שחורים ולבנים. התמונה המשוחזרת מתארת את המספרים 1 עד 10 בכתיבה בּינָרית, שרטוט של מבנה הדנ"א, דגם של מערכת השמש שלנו ותמונה של טלסקופ הרדיו באָרֵסיבּוֹ. התמונה אינה כה מפורטת מכיוון שיש פה רק 1,679 פיקסלים, אלא שהבחירה במספר 1,679 מכוּונת, שכן היא רומזת על האופן שיש לסדר בו את הפיקסלים. 73×23=1,679, כלומר, יש רק שתי דרכים לסדר את הפיקסלים במלבן וליצור את התמונה. 23 שורות ו-73 עמודות יוצרות קשקוש מוחלט, אבל אם נסדר אותן בדרך השנייה, ב-73 שורות ו-23 עמודות, נקבל את התוצאה המופיעה בתמונה 1.05. צביר הכוכבים M13 נמצא במרחק של 25,000 שנות אור, ואנחנו עדיין מחכים לתשובה. אל תצפו לתגובה ב-50,000 השנים הקרובות!

אף על פי שהמספרים הראשוניים הם אוניברסליים, האופן שבו אנחנו כותבים אותם עבר שינויים גדולים במרוצת ההיסטוריה של המתמטיקה, והוא תלוי מאוד בתרבות – כפי שיַראה כעת הסיור המהיר שלנו בכוכב הלכת.

איזה מספר ראשוני הוא זה?

איור 1.06

אחד המקומות הראשונים בהיסטוריה שבו עסקו במתמטיקה הוא מצרים העתיקה, וכך הם כתבו את המספר 200,201. כבר בתחילת האלף השישי לפני הספירה התחילו אנשים לנטוש את אורח החיים הנוודי ולהתיישב לאורך הנילוס. ככל שהתפתחה החברה המצרית, גבר הצורך במספרים לשם רישום של מיסים, מדידת שטחי קרקע ובניית הפירמידות. המצרים השתמשו באותו כתב חרטומים ששימש אותם לייצוג השפה גם כדי לכתוב מספרים. באותה עת הם כבר פיתחו שיטה מספרית המבוססת על חזקות של 10, בדומה לשיטה העשרונית שאנחנו משתמשים בה כיום. לבחירה במספר הזה אין חשיבות מתמטית מיוחדת, והיא קשורה לעובדה האנטומית של היותנו בעלי עשר אצבעות. אלא שהמצרים עדיין לא המציאו אז את שיטת ההצגה העשרונית. לפי השיטה הזאת נכתבים המספרים כך שמיקומה של כל ספרה מתאים לחזקה של 10 שאותה מונה הספרה. לדוגמה, לכל אחת מספרות ה-2 במספר 222 יש ערך שונה הנקבע על פי מיקומה. המצרים, לעומת זאת, יצרו סמל חדש עבור כל חזקה חדשה של 10:

איור 1.07: סמלים מצריים עתיקים לחזקות של 10. 10 יוצג על ידי עצם עקב מעוצבת, 100 על ידי סליל חבל ו-1,000 על ידי צמח הלוטוס.

את המספר 200,201 אפשר לכתוב במתכונת חסכונית למדי, אבל נסו לכתוב את המספר הראשוני 9,999,991 בכתב חרטומים. יידרשו לכם 55 סמלים. אם כי המצרים לא ידעו על חשיבותם של המספרים הראשוניים, הם פיתחו מתמטיקה מתוחכמת למדי, ובין היתר – ואין זה מפתיע – את הנוסחה לחישוב נפח של פירמידה ואת מושג השבר. אלא ששיטת הסימנים שלהם למספרים לא היתה מתוחכמת ממש, בשונה מזו של שכניהם הבבלים.

איזה מספר ראשוני הוא זה?

איור 1.08

כך כתבו הבבלים הקדמונים את המספר 71. כמו האימפריה המצרית, המעצמה הבבלית התרכזה סביב נהר מרכזי, נהר פְּרת. מ-1800 לפנה"ס ואילך שלטו הבבלים בחלק גדול משטחן של עיראק, איראן וסוריה של ימינו. כדי להרחיב את האימפריה שלהם ולנהל אותה היה עליהם להתמחות בשימוש ושליטה במספרים. רישומים נעשו על לוחות חימר, והפקידים השתמשו במקל עץ או בחֶרֶט כדי לכתוב סימנים בחימר הרטוב לפני שהתייבש. קצה החרט היה בצורת יתד – וזה מקור שמו של הכתב הבבלי, כתב יתדות.

ב-2000 לפנה"ס בערך היו הבבלים לאחת התרבויות הראשונות שהכניסו לשימוש שיטת מספרים המבוססת על מיקום. אלא שבמקום להשתמש בחזקות של 10, כמו המצרים, פיתחו הבבלים שיטה שעבדה לפי בסיס 60. היו להם צירופים שונים של סמלים לכל המספרים מ-1 ועד 59, וכשהגיעו ל-60 התחילו עמודת "שישים" חדשה משמאל, ורשמו מנה אחת של 60. הדבר דומה לשיטה העשרונית שבה רושמים 1 בעמודת ה"עשרות" כאשר עמודת האחדוֹת גדולה מ-9. המספר הראשוני המוצג לעיל מורכב אפוא ממָנָה אחת של 60 בצירוף הסמל המייצג 11, ויחד 71. בסמלי המספרים עד 59 מובלעת רמיזה מסוימת לשיטה העשרונית, שכן המספרים מ-1 עד 9 מיוצגים בקווים אופקיים, ואילו 10 מיוצג על ידי הסמל (איור 1.09).

איור 1.09

מבחינה מתמטית, הבחירה בבסיס 60 מוצדקת הרבה יותר מן השיטה העשרונית. זהו מספר פָּריק ביותר והוא כלי רב-עוצמה לביצוע חישובים. לדוגמה, אם יש לי 60 פולי שעועית, אוכל לחלק אותם בהמון דרכים שונות:

6×10=5×12=4×15=3×20=2×30=60

איור 1.10: אופני החלוקה השונים של 60 פולי שעועית

איך סופרים עד 60 בעזרת הידיים

בימינו נותרו שרידים רבים לבסיס ה-60 הבבלי. יש 60 שניות בדקה, 60 דקות בשעה, 60×6=360 מעלות במעגל. יש עדויות לכך שהבבלים השתמשו באצבעות הידיים בדרך מתוחכמת למדי כדי לספור עד 60.

בכל אצבע יש שלוש עצמות. יש ארבע אצבעות בכל יד, וכך ניתן להשתמש באגודל כדי להצביע על 12 עצמות שונות. משתמשים ביד שמאל כדי לספור עד 12. ארבע האצבעות שביד ימין משמשות כדי לספור כמה מנות של 12 ספרתם. בסך הכול אפשר לספור עד חמש מנות של 12 (ארבע מנות של 12 ביד ימין ועוד מנה אחת של 12 ביד שמאל), וכך מגיעים ל-60.

למשל, כדי למנות את המספר הראשוני 29 עליכם לציין שתי מנות של 12 ביד ימין ואז לספור עד לעצם החמישית ביד שמאל.

איור 1.11

הבבלים היו קרובים מאוד לגילוי מספר חשוב ביותר במתמטיקה – האפס. אם תרצו לכתוב את המספר הראשוני 3,607 בכתב יתדות, תיתקלו בבעיה. הוא שווה למנה אחת של 3,600 או 60 בריבוע ועוד 7 אחדוֹת, אבל כשכותבים אותו הוא עשוי בקלות להיראות כמו מנה אחת של 60 ועוד 7 אחדוֹת – מספר ראשוני, אבל לא זה שרציתי. כדי לפתור את זה הוסיפו הבבלים סמל קטן כדי לציין שאין אף מנת 60 בעמודת ה-60-ים. המספר 3,607 נכתב אפוא כך

איור 1.12

אלא שהבבלים לא ראו באפס מספר בפני עצמו. בשבילם לא היה זה אלא סימן בשיטת מיקום הספרות, שבעזרתו הם ציינו את היעדרה של חזקה מסוימת של 60. המתמטיקה תיאלץ לחכות עוד 2,700 שנים, עד המאה השביעית לספירה, שאז הכניסו ההודים לשימוש את האפס והתחילו לחקור את התכונות שלו כמספר. נוסף על פיתוח של דרך מתקדמת לכתיבת מספרים, הבבלים אחראים גם לגילוי השיטה הראשונה לפתרון משוואות ריבועיות, הליך שכל ילד לומד כיום בבית הספר. הם גם גילו את הרמזים הראשונים למשפט פיתגורס על משולשים ישרי זווית. אבל אין ראיות לכך שהבבלים העריכו את יופיָם של המספרים הראשוניים.

איזה מספר ראשוני הוא זה?

איור 1.13

תרבות המאיה במרכז אמריקה היתה בשיאה בין השנים 200 ל-900 לספירה, ואזור ההשפעה שלה השתרע מדרום מכסיקו ועד גוואטמלה ואל סלבדור. לבני המאיה היתה שיטת מספרים מתוחכמת שפותחה כדי לסייע להם בחישוביהם האסטרונומיים המתקדמים, וכך הם כתבו את המספר 17. בניגוד למצרים ולבבלים, בני המאיה השתמשו בשיטה של בסיס 20. הם ציינו את המספר אחת בנקודה, את המספר שתיים בשתי נקודות ואת המספר שלוש בשלוש נקודות. כשהגיעו לחמש מתחו קו על ארבע הנקודות במקום לצייר חמש נקודות, ממש כמו אסיר שמוחק בגיר את הימים שעברו על קיר תא הכלא שלו. קו, אם כן, מציין חמש.

מעניין לציין שהשיטה הזאת מבוססת על העיקרון שלפיו יכול המוח להבחין במהירות בכמויות קטנות – אנחנו יכולים להבדיל בדבר אחד, שניים, שלושה וארבעה – אבל מעבר לזה נעשה הדבר קשה יותר ויותר. כשהגיעו בני המאיה ל-19 – שלושה קווים וארבע נקודות מעל – הם יצרו עמודה חדשה, ובה ספרו את מנות ה-20. העמודה הבאה היתה אמורה לספור את מנות ה-400 (20×20), אלא שבאופן מוזר היא מייצגת את מנות ה-360 (18×20). הבחירה המשונה הזאת קשורה ללוח השנה של המאיה. אחד המחזורים שלהם מורכב מ-18 חודשים של 20 ימים. מחזור זה הוא בן 360 ימים בלבד. כדי להשלים את השנה ל-365 ימים הם הוסיפו חודש של חמישה "ימים רעים", שנחשבו מבשרי רעות במיוחד.

מעניין לגלות שבדומה לבבלים, השתמשו בני המאיה בסמל מיוחד כדי לציין את היעדרה של חזקה כלשהי של 20. כל מקום בשיטת המספרים שלהם מקושר לאל, והיה זה משום חוסר כבוד כלפי האל אם לא ניתן לו דבר להחזיק בו. על כן השתמשו בני המאיה בסמל של צדף כדי לציין לא כלום. יצירת הסמל הזה, המייצג לא כלום, היתה תוצאה של אמונות תפלות לא פחות מאשר של שיקולים מתמטיים. כמו הבבלים, בני המאיה עדיין לא התייחסו לאפס כאל מספר בזכות עצמו.

לבני המאיה נחוצה היתה שיטה שתאפשר להם למנות מספרים גדולים מאוד, מכיוון שחישוביהם האסטרונומיים כללו מחזורי זמן עצומים. אחד המחזורים האלה נמדד באמצעות מה שנקרא ספירה ארוכה, שתחילתה ב-11 באוגוסט 3,114 לפנה"ס, והיא משתמשת בחמישה סימנים ומסתכמת ב-20×18×20×20×20 ימים. בסך הכול מדובר ב-7,890 שנים. 21 בדצמבר 2012 היה יום בעל חשיבות בלוח השנה של המאיה, שכן התאריך המדויק בו היה 13.0.0.0.0. תושבי גוואטמלה התרגשו מאוד לקראת האירוע הזה, כמו ילדים במושב האחורי של המכונית המחכים שמד הקילומטרים יתאפס, גם אם נמצאו אי-אלו נביאי זעם שטענו כי זהו התאריך של סוף העולם.

איזה מספר ראשוני הוא זה?

איור 1.14

אם כי מדובר באותיות ולא במספרים, כך כותבים את המספר 13 בעברית. במסורת היהודית של הגימטריה לכל אות באלפבית יש ערך מספרי. בדוגמה הזאת, האות גימל היא האות השלישית באלפבית והאות יוד היא העשירית. לכן מייצג צירוף האותיות הזה את המספר 13. טבלה 1.01 מפרטת את הערכים המספריים של כל האותיות.

אנשים המעורים היטב בקבלה נהנים להשתעשע בערכים המספריים של מילים שונות ובאיתור הקשרים ביניהן. הערך המספרי של שמי הפרטי, למשל, הוא

מם

ריש

כף

וו

סמך

40

+

200

+

20

+

6

+

60

=

326

מה ששווה לערכה המספרי של המילה "איש הוֹד"... או לחלופין של המילה "כּוּש". הסבר אחד לכך ש-666 הוא "מספר החיה" (על פי ספר חזון יוחנן) הוא שוויון הערך המספרי שלו לשם "נֵרוֹן", מן המרושעים בקיסרי רומא.

האות העברית

המקבילה באנגלית

ערך מספרי

א

A

1

ב

B

2

ג

G

3

ד

D

4

ה

H, E

5

ו

V, U, O

6

ז

Z

7

ח

Ch

8

ט

T

9

י

I, Y, J

10

כ

K

20

ל

L

30

מ

M

40

נ

N

50

ס

S

60

ע

O, Ng

70

פ

P

80

צ

Tz

90

ק

Q

100

ר

R

200

ש

Sh

300

ת

Th

400

טבלה 1.01

אפשר לחשב את הערך המספרי של השם שלך על ידי סיכום הערכים המספריים שבטבלה 1.01. כדי למצוא מילים נוספות בעלות ערך מספרי שווה לזה של שמך, כדאי לבקר ב-http://bit.ly/Heidrick או לסרוק את הקוד הזה בעזרת הטלפון הנייד שלך.

אם כי למספרים הראשוניים לא היתה משמעות מיוחדת בתרבות היהודית, היתה חשיבות למספרים אחרים הקשורים אליהם. קחו מספר והתבוננו בכל המספרים שמחלקים אותו (חוץ ממנו עצמו) בלי שארית. אם מסכמים את כל המספרים האלה ומקבלים את המספר שהתחלנו בו, המספר נקרא מספר מושלם. המספר המושלם הראשון הוא 6. חוץ מ-6 עצמו, המספרים שמחלקים אותו הם 1, 2 ו-3. אם נסכם את המספרים האלה, 1+2+3, נקבל שוב 6. המספר המושלם הבא הוא 28. לפי היהדות נברא העולם ב-6 ימים, והחודש הירחי המשמש בלוח השנה היהודי הוא בן 28 ימים. הדבר הוליד את האמונה שביהדות יש חשיבות מיוחדת למספרים מושלמים.

גם פרשנים נוצרים ציינו את התכונות המתמטיות והדתיות של המספרים המושלמים האלה. אוֹגוּסטינוּס הקדוש (354-430) כתב ביצירתו המפורסמת עיר האלוהים כי "שש הוא מספר מושלם בפני עצמו, לא משום שאלוהים ברא את כל הדברים בשישה ימים. נהפוך הוא. אלוהים ברא את כל הדברים בשישה ימים מכיוון שהמספר הוא מושלם."

מעניין שהמספרים הראשוניים מסתתרים מאחורי המספרים המושלמים. כל מספר מושלם קשור למספר ראשוני מיוחד שנקרא מספר מֶרְסֶן (פרטים נוספים בהמשך הפרק). עד היום ידועים רק 47 מספרים מושלמים. בגדול בהם יש 25,956,377 ספרות. מספרים מושלמים זוגיים הם תמיד במתכונת (2n-1)א2n-1. ובכל פעם ש-(2n-1)א2n-1 הוא מספר מושלם, 2n-1 יהיה מספר ראשוני, ולהפך. עדיין איננו יודעים אם יכולים להיות מספרים מושלמים אי-זוגיים.

איזה מספר ראשוני הוא זה?

איור 1.15

אולי אתם חושבים שזהו המספר הראשוני 5. הוא לבטח נראה כמו 2+3. אלא שהסימן שבאמצע אינו סימן פְּלוּס – למעשה זהו הסימן ל-10. שלושת הסמלים מציינים שתי עשרות ושלוש אחדוֹת: 23.

הצורה המסורתית לרישום מספרים בסינית לא עשתה שימוש בשיטת מיקום הספרות, אלא בסמלים שמציינים את החזקות השונות של 10. שיטה חלופית לייצוג מספרים באמצעות מקלוני במבוק, שהתפתחה מן החשבונייה, עשתה שימוש בשיטת מיקום הספרות, שכן בשיטה הזאת, כשמגיעים לעשר, מתחילים עמודה חדשה.

הנה המספרים מ-1 עד 9 כפי שהם נכתבים באמצעות מקלוני במבוק:

איור 1.16

כדי למנוע בלבול הם סובבו את המספרים בכל שורה שנייה (כלומר, העשרות, האלפים, מאות האלפים,...) והניחו את מקלוני הבמבוק במאונך:

איור 1.17

הסינים הקדמונים חשבו אפילו על מספרים שליליים, וסימנו אותם באמצעות מקלוני במבוק בצבע שונה. יש הסבורים כי מקור השימוש בדיו שחור ואדום אצל רואי חשבון בארצות המערב הוא במנהג הסיני להשתמש במקלונים אדומים ושחורים, אם כי מעניין לדעת שהסינים משתמשים במקלונים שחורים לציון מספרים שליליים.

הסינים היו כנראה אחת התרבויות הראשונות שהבחינו בחשיבותם של המספרים הראשוניים. הם האמינו שלכל מספר יש מין – המספרים הזוגיים הם נקביים והמספרים האי-זוגיים הם זכריים. הם ראו שמספרים אי-זוגיים מסוימים הם מיוחדים למדי. למשל, אם יש בידנו 15 אבנים, אפשר לסדר אותן במלבן נאה, בשלוש שורות של חמש. אבל אם יש בידנו 17 אבנים, אי-אפשר ליצור מערך מסודר: כל שנוכל לעשות הוא לסדר אותן בקו ישר. הסינים חשבו אפוא שהמספרים הראשוניים הם מספרים גבריים מאוד. המספרים האי-זוגיים שאינם ראשוניים נתפסו כנשיים למדי, על אף היותם זכריים.

נקודת המבט הזאת של הסינים הקדמונים חשפה תכונה בסיסית של המספרים הראשוניים, מכיוון שמספר האבנים בערימה הוא ראשוני אם אין שום דרך לסדר אותן במלבן נאה.

המצרים הקדמונים השתמשו בציור של צפרדעים כדי לתאר מספרים; בני המאיה ציירו נקודות וקווים; הבבלים יצרו יתדות בחימר; הסינים סידרו מקלונים; וביהדות מייצגות אותיות האלפבית מספרים. הסינים הם שהקדימו ככל הנראה לעמוד על חשיבותם של המספרים הראשוניים, אבל תרבות אחרת היא שהחלה בחשיפתם של מסתורי המספרים החידתיים האלה: היוונים הקדמונים.

איך השתמשו היוונים בנָפוֹת לניפוי קמח כדי לרקוח מספרים ראשוניים?

להלן דרך שיטתית שגילו היוונים הקדמונים כדי למצוא ביעילות מספרים ראשוניים קטנים. המשימה היא למצוא שיטה יעילה שתסנן את כל המספרים שאינם ראשוניים. כִּתבו את כל המספרים מ-1 עד 100. התחילו במחיקה של המספר 1 (כאמור, היוונים סברו ש-1 הוא מספר ראשוני, אבל במאה העשרים ואחת הוא כבר לא נחשב לכזה). עִברו אל המספר הבא, 2. זה המספר הראשוני הראשון. כעת מחקו כל מספר שני אחרי 2. הפעולה הזאת מוחקת למעשה את כל הכפולות של 2, וכך אנחנו נפטרים מכל המספרים הזוגיים למעט 2. מתמטיקאים אוהבים להתבדח על כך שהמספר הראשוני הראשון הוא מספר שתיים... אבל חוש הומור, כנראה, אינו עיקר כוחם של מתמטיקאים.

איור 1.18: מחקו כל מספר שני אחרי 2.

כעת, קחו את המספר הקטן ביותר שעדיין לא נמחק, כלומר 3, ומחקו באופן שיטתי את כל הכפולות של 3:

איור 1.19: כעת מחקו כל מספר שלישי אחרי 3.

מכיוון ש-4 כבר נמחק, אנחנו עוברים אל המספר הבא, 5, ומוחקים כל מספר חמישי החל ב-5. ממשיכים בתהליך הזה, ובכל פעם חוזרים אל המספר הנמוך ביותר n שעדיין לא נמחק, ומוחקים את כל המספרים במקומות שהם כפולות של n:

איור 1.20: לבסוף אנחנו נותרים עם המספרים הראשוניים מ-1 עד 100.

הדבר היפה בתהליך הזה הוא היותו מכני – היישום שלו לא דורש מחשבה רבה. לדוגמה, האם 91 הוא מספר ראשוני? בשיטה הזאת לא צריך לחשוב. 91 נמחק כשמוחקים את הכפולות של 7, כיוון ש-13×7=91. 91 מכשיל אנשים לעיתים קרובות, כי אנחנו לא רגילים לשנן את לוח הכפל של 7 עד 13.

התהליך השיטתי הזה הוא דוגמה טובה לאַלְגוֹריתם, שיטה לפתרון בעיה על ידי ביצוע סדרה מסוימת של הוראות – זה בעצם מה שעושָׂה תוכנית מחשב. האלגוריתם המסוים הזה התגלה לפני אלפיים שנים באחת החממות של הפעילות המתמטית באותה עת – אלכסנדריה שבמצרים של ימינו. בימים ההם היתה אלכסנדריה אחד המעוזים המרוחקים של האימפריה היוונית הגדולה, והתגאתה באחת הספריות הטובות בעולם. במאה השלישית לפנה"ס המציא הספרן אֵרָטוֹסְטֵנֶס את תוכנית המחשב הקדומה הזאת כדי למצוא מספרים ראשוניים.

השיטה קרויה "הנָפָה של אֵרָטוֹסְטֵנֶס", מכיוון שבכל פעם שמוחקים קבוצה של מספרים שאינם ראשוניים, משתמשים כביכול במסננת או בנפה, תוך כוונון הנקבים ברשת בהתאם למספר הראשוני שמתחילים בו. לנפה ההתחלתית יש רשת בעלת מִרווח של 2; ואז של 3; ואחר כך של 5 וכן הלאה. הבעיה היחידה היא שהשיטה מאבדת את יעילותה עד מהרה ככל שמנסים למצוא מספרים ראשוניים גדולים יותר.

ארטוסתנס לא רק ניפה מספרים ראשוניים ושמר על מאות אלפי פפירוסים ומגילות קלף בספרייה, אלא גם חישב גם את ההיקף של כדור הארץ ואת המרחק מכדור הארץ אל השמש ואל הירח. הוא חישב כי השמש נמצאת במרחק של 804,000,000 אצטדיונים מכדור הארץ – אם כי יחידת המידה שהוא השתמש בה אולי מקשה במקצת לאמוד את דיוק המדידה. באיזה גודל של אצטדיון אנחנו אמורים להשתמש – וומבּלי, או אולי משהו קטן יותר כמו לוֹפְטוּס רוֹאְד שבשֵפֶּרְדְ'ס בּוּש?

נוסף על המדידות במערכת השמש מיפה ארטוסטנס את נתיב הזרימה של הנילוס, והיה הראשון שהסביר נכונה את הסיבה לגאות החוזרת ונשנית של הנהר – גשמים כבדים באזור מקורותיו הרחוקים באתיופיה. למרות כל הפעילות הזאת כינו אותו חבריו בשם בֵּטא – מפני שאף פעם לא הצטיין בדבר. מסופר שבזִקנתו הוא הרעיב את עצמו למוות אחרי שהתעוור.

אפשר להשתמש במשחק הסולמות והחבלים שעל הכריכה כבמעין גרסה מעשית של "הנָפָה של ארטוסטנס". קחו חופן של פתיתי פסטה ושימו אחד על כל מספר שאתם מוחקים. המספרים שנותרים גלויים הם מספרים ראשוניים.

כמה זמן נדרש כדי להכין רשימה של כל המספרים הראשוניים?

כל מי שינסה לכתוב את כל המספרים הראשוניים ימשיך לכתוב לנצח, מכיוון שיש מספרים כאלה לבלי סוף. מדוע אנחנו בטוחים כל כך שלעולם לא נגיע אל המספר הראשוני האחרון, שתמיד יהיה עוד מספר ראשוני שאפשר יהיה לצרף לרשימה? זהו אחד ההישגים הגדולים של המוח האנושי – בעזרת סדרה סופית של צעדים לוגיים הצלחנו לגעת באינסוף.

האדם הראשון שהוכיח שהמספרים הראשוניים ממשיכים לנצח הוא מתמטיקאי יווני שפעל באלכסנדריה ושמו אֶוּקְלידֶס. הוא היה תלמיד של אפלטון, וגם הוא חי במאה השלישית לפנה"ס, אם כי היה כנראה מבוגר בכחמישים שנה מן הספרן ארטוסטנס.

כדי להוכיח שמוכרחים להיות אינסוף מספרים ראשוניים התחיל אֶוּקְלידֶס בשאלה ההפוכה: האם ייתכן שבעצם יש מספר סופי של מספרים ראשוניים? אחת התכונות של רשימה סופית זו של המספרים הראשוניים היא שבאמצעות מכפלות של המספרים הראשוניים האלה ניתן ליצור את כל שאר המספרים. לדוגמה, נניח שאתם סבורים כי רשימת כל המספרים הראשוניים מורכבת רק משלושת המספרים 2, 3 ו-5. האם ניתן לבנות כל מספר על ידי מכפלות שונות של 2-ים, 3-ים ו5-ים? אֶוּקלידס רקח דרך לבנות מספר שלעולם אי-אפשר יהיה לקבל אותו באמצעות מכפלות של שלושת המספרים הראשוניים האלה. השלב הראשון היה הכפלת המספרים הראשוניים ברשימה שלו, כך שקיבל את המספר 30. ואז – וזהו מעשה הגאונות שלו – הוא הוסיף 1 למספר הזה וקיבל 31. אף מספר ראשוני מן הרשימה שלו, 2, 3 או 5, לא מחלק את המספר הזה במדויק. תמיד מקבלים שארית 1.

אֶוּקלידס ידע שכל המספרים מורכבים ממכפלות של מספרים ראשוניים, ולכן תהה מה באשר ל-31? מכיוון שאי-אפשר לחלק אותו ב-2, 3 או 5, מוכרחים להיות מספרים ראשוניים אחרים שאינם ברשימה שלו כדי ליצור את 31. למעשה, 31 עצמו הוא מספר ראשוני, וכך יצר אֶוּקלידס מספר ראשוני "חדש". אולי תאמרו שאפשר להוסיף את המספר הראשוני החדש הזה לרשימה. אבל אֶוּקלידס יכול לבצע שוב תעלול זהה. לא משנה עד כמה גדולה טבלת המספרים הראשוניים, אֶוּקלידס פשוט יכפיל את כל המספרים ברשימה ויוסיף 1. בכל פעם שיצליח ליצור מספר שמותיר שארית 1 אחרי שמחלקים אותו בכל מספר ראשוני מן הרשימה, אותו מספר בהכרח יהיה ניתן לחלוקה על ידי מספרים ראשוניים שאינם ברשימה. כך הצליח אֶוּקלידס להוכיח שלא יכולה להיות רשימה סופית שתכיל את כל המספרים הראשוניים. לכן מוכרחה להיות רשימה אינסופית של מספרים ראשוניים.

אֶוּקלידס אומנם הצליח להוכיח שהמספרים הראשוניים ממשיכים לבלי סוף, ובכל זאת היתה בעיה אחת בהוכחה שלו – היא לא מציינת איפה הם נמצאים. אתם אולי חושבים שהשיטה שלו מספקת דרך למצוא מספרים ראשוניים חדשים. בסופו של דבר, כשהכפלנו את 2, 3 ו-5 והוספנו 1, קיבלנו 31, מספר ראשוני חדש. אבל זה לא עובד תמיד. למשל, קחו את רשימת המספרים הראשוניים 2, 3, 5, 7, 11 ו-13. הכפילו את כולם ותקבלו 30,030. כעת הוסיפו 1 וקבלו 30,031. המספר הזה לא מתחלק באף אחד מן המספרים הראשוניים מ-2 ועד 13 מכיוון שתמיד מתקבלת שארית 1. ואולם, הוא לא מספר ראשוני, מכיוון שהוא מתחלק בשני המספרים הראשוניים 59 ו-509, והם לא ברשימה שלנו. למעשה, המתמטיקאים עדיין לא יודעים אם התהליך של הכפלת רשימה סופית של מספרים ראשוניים זה בזה והוספה של 1 מייצר אינסוף מספרים ראשוניים חדשים.

הנה סרטון של קבוצת הכדורגל שלי, מצוידת

בתלבושת המספרים הראשוניים שלה, שמסביר

מדוע יש אינסוף מספרים ראשוניים. בקרו ב-

http://bit.ly/Primenumbersfootball

או סִרקו את הקוד הזה בעזרת הטלפון הנייד שלכם.

מדוע השמות האמצעיים של בנותי הם 41 ו-43?

אם אי-אפשר לכתוב את המספרים הראשוניים בטבלה אחת גדולה, אולי אפשר לנסות ולמצוא תבנית כלשהי שתעזור לנו למצוא אותם. האם יש דרך חכמה להתבונן במספרים הראשוניים שכבר יש בידנו ולדעת איפה יהיה המספר הראשוני הבא?

הנה המספרים הראשוניים שגילינו בעזרת "הנָפָה של ארטוסטנס" שאותה החלנו על המספרים מ-1 ועד 100:

,53 ,47 ,43 ,41 ,37 ,31 ,29 ,23 ,19 ,17 ,13 ,11 ,7 ,5 ,3 ,2

97 ,89 ,83 ,79 ,73 ,71 ,67 ,61 ,59

הבעיה עם המספרים הראשוניים היא שקשה מאוד לדעת איפה יופיע המספר הבא – פשוט לא נראה שיש בסדרה הזאת תבניות כלשהן שיסייעו לנו לגלות אותו. למעשה, המספרים הראשוניים נראים כמו סדרת מספרים שעלו בהגרלת הלוטו יותר מאשר כאבני הבניין של המתמטיקה. הדבר דומה לציפייה לאוטובוס – עשוי לעבור זמן רב ללא מספרים ראשוניים, ואז פתאום מגיעים כמה מהם יחד ברצף מהיר. ההתנהגות הזאת אופיינית מאוד לתהליכים אקראיים, כפי שנראה בפרק 3.

להוציא המקרה של 2 ו-3, המרחק הקטן ביותר האפשרי בין שני מספרים ראשוניים הוא שניים, כמו 17 ו-19, 41 ו-43, מכיוון שהמספר בין בני הזוג האלה הוא תמיד זוגי, ולכן לא ראשוני. הצמדים הכל כך קרובים האלה של מספרים ראשוניים נקראים מספרים ראשוניים תאומים. בגלל האובססיה שלי למספרים ראשוניים, בנותי התאומות כמעט קיבלו את השמות 41 ו-43. אם כריס מרטין וגווינת' פּלטרוֹ יכולים לקרוא לתינוקת שלהם "תפוח", ואם פרנק זאפּה יכול לקרוא לבנותיו "יחידת ירח" ו"דיווה מָאפין צליל פּיג'ין", מדוע התאומות שלי לא יכולות להיות 41 ו-43? אשתי לא ממש התלהבה, וכך נותרו השמות האלה בגדר השמות האמצעיים ה"סודיים" שלי לבָּנות.

על אף שהמספרים הראשוניים נעשים נדירים יותר ויותר ככל שמתרחקים ביקום המספרים, מדהים עד כמה תדירה הופעתם של מספרים ראשוניים תאומים. לדוגמה, 21 המספרים שאחרי המספר 1,129 אינם מספרים ראשוניים, ופתאום צצים להם המספרים הראשוניים התאומים 1,151 ו-1,153. וכשעוברים את המספר הראשוני 102,071 צריך להבקיע דרך 59 מספרים שאינם ראשוניים, ופתאום מופיע צמד המספרים הראשוניים 102,761 ו-102,763. המספרים הראשוניים התאומים הגדולים ביותר שנמצאו עד תחילת 2009 הם בני 58,711 ספרות. לאור העובדה שדרוש מספר בן 80 ספרות בלבד כדי למנות את מספר האטומים ביקום הנראה, המספרים האלה גדולים עד כדי גיחוך.

ואולם, האם קיימים עוד מספרים כאלה מעבר לשני התאומים האלה? הודות להוכחה של אֶוּקלידס אנחנו יודעים שנמצא אינסוף מספרים ראשוניים, אבל האם ניתקל באינסוף מספרים ראשוניים תאומים? נכון לעכשיו, אף אחד עדיין לא מצא הוכחה חכמה כמו זו של אֶוּקלידס שתראה את קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים תאומים כאלה.

בשלב מסוים נראה היה שהמספרים הראשוניים התאומים יכולים אולי להיות המפתח לסוד המספרים הראשוניים. בספר האיש שחשב שאשתו היא כובע מתאר אוליבר סאקס מקרה אמיתי של שני תאומים, גאונים-אוטיסטים, שהשתמשו במספרים הראשוניים כבשפת סתרים. האחים התאומים ישבו במרפאה של סאקס וניהלו חילופי מספרים ראשוניים ביניהם. תחילה הוקסם סאקס מן הדו-שיח, אבל לילה אחד הוא הצליח לפצח את סוד הצופן שלהם. הוא טרח ומצא כמה מספרים ראשוניים משלו והחליט לבחון את התיאוריה הזאת. למחרת הצטרף סאקס אל התאומים בזמן שישבו והחליפו ביניהם מספרים בני שש ספרות. אחרי כמה זמן ניצל סאקס הפסקה במלמול המספרים הראשוניים של התאומים, והפתיע אותם והכריז על מספר ראשוני בן שבע ספרות. הם ישבו וחשבו מעט, שכן המספר החדש מתח את גבול המספרים הראשוניים שהחליפו ביניהם עד אותו רגע, ואז חייכו בו זמנית כאילו זיהו חבר ותיק.

בזמן שבילו עם סאקס הם הצליחו להגיע למספרים ראשוניים בני תשע ספרות. אף אחד, כמובן, לא היה רואה דבר יוצא דופן אם היו מוצאים מספרים אי-זוגיים או אולי אפילו מספרים ריבועיים. הדבר המדהים במה שעשו הוא שהמספרים הראשוניים מפוזרים באקראיות כה רבה. אחד ההסברים להצלחה שלהם קשור ליכולת אחרת של התאומים. הם הופיעו לעיתים קרובות בטלוויזיה והרשימו את הקהל ביכולתם לזהות, למשל, כי 23 באוקטובר 1901 היה יום רביעי. חישוב היום בשבוע על פי התאריך נעשה באמצעות כלי בשם חשבון מוֹדוּלרי או חשבון שעון. ייתכן שהתאומים גילו שחשבון שעון הוא גם המפתח לזיהוי מספרים ראשוניים.

אם לוקחים מספר, נאמר 17, ומחשבים את 217, אז אם השארית של חלוקת המספר הזה ב-17 היא 2, זוהי ראיה טובה לכך ש-17 הוא מספר ראשוני. לעיתים קרובות מייחסים בטעות את מבחן הראשוניות הזה למתמטיקאים סינים, אלא שהיה זה מתמטיקאי צרפתי בן המאה השבע-עשרה, פייר דה פֶרְמָה, שהוכיח כי אם השארית אינה 2, אז לבטח 17 אינו מספר ראשוני. ככלל, אם רוצים לבדוק אם p אינו מספר ראשוני, יש לחשב את 2p ולחלק את התוצאה ב-p. אם השארית אינה 2, אז p אינו מספר ראשוני. היו ששיערו כי אם לתאומים יש כישרון כזה בזיהוי של ימי השבוע, המסתמך על טכניקה דומה לחישוב שאריות מחלוקה ב-7, אולי הם השתמשו במבחן הזה גם כדי למצוא מספרים ראשוניים.

תחילה חשבו המתמטיקאים שאם ל-2p יש שארית של 2 מחלוקה ב-p, אז p הוא בהכרח מספר ראשוני. אלא שמתברר כי המבחן הזה לא מבטיח ראשוניות. 11×31=341 אינו ראשוני, ובכל זאת ל-2341 יש שארית 2 מחלוקה ב-341. הדוגמה הזאת לא היתה ידועה עד 1819, וייתכן שהתאומים ידעו על מבחן יותר מתוחכם שיכול לנפות את 341. פֶרְמָה הראה שניתן להרחיב את המבחן מעבר לחזקות של 2, כשהוכיח שאם p הוא מספר ראשוני, אז לכל מספר n קטן מ-p,א n p תמיד יותיר שארית n בחלוקה במספר הראשוני p. לכן, אם מוצאים מספר כלשהו n שלא עובר את המבחן הזה, אפשר לפטור את p כמתחזה למספר ראשוני.

למשל, ל-3341 אין שארית 3 מחלוקה ב-341 – יש לו שארית 168. לא ייתכן שהתאומים בדקו את כל המספרים שקטנים מן המועמד שלהם לראשוניות: לשם כך דרושים יותר מדי מבחנים. ואולם, המכשף ההונגרי הגדול של המספרים הראשוניים, פול אֶרְדוֹש (Erdös), העריך (אם כי לא הצליח להוכיח באופן קפדני) כי כדי לבדוק אם מספר הקטן מ-10150 הוא ראשוני, הצלחה יחידה במבחן פֶרְמָה פירושה שהסיכוי לכך שהמספר אינו ראשוני יורד ל-1 ל-1043. וכך, במקרה של התאומים, מבחן אחד הספיק כנראה כדי לעורר בהם את הריגוש שבגילוי מספר ראשוני.

קְלאס המספרים הראשוניים

זהו משחק לשני שחקנים, והיכרות עם המספרים הראשוניים התאומים עשויה להקנות לכם יתרון בו.

כִּתבו את המספרים מ-1 ועד 100 או הורידו את קלאס המספרים הראשוניים מאתר מסתו7י המס9רים. השחקן הראשון לוקח דסקית ומניח אותה על מספר ראשוני, במרחק של חמישה צעדים לפחות ממשבצת מספר 1. השחקן השני לוקח את הדסקית ומזיז אותה אל מספר ראשוני גדול יותר, במרחק של חמש משבצות לכל היותר מן המקום שבו הניח אותה השחקן הראשון. השחקן הראשון ממשיך ומעביר את הדסקית אל מספר ראשוני גדול עוד יותר, שוב במרחק של חמש משבצות לכל היותר. המפסיד הוא השחקן הראשון שלא יכול להזיז את הדסקית בהתאם לכללים. הכללים הם: (1) אין להזיז את הדסקית למרחק של יותר מחמש משבצות; (2) על הדסקית להיות מונחת תמיד על מספר ראשוני; ו-(3) אין להזיז את הדסקית אחורה או שמאלה.

איור 1.21: דוגמה למשחק קלאס המספרים הראשוניים,

כאשר מספר הצעדים המרבי בכל תור הוא חמישה.

התמונה למעלה מציגה תרחיש אופייני. שחקן 1 הפסיד במשחק מפני שהדסקית מונחת במשבצת 23 ואין עוד מספרים ראשוניים בחמש המשבצות שאחרי 23. האם שחקן 1 היה יכול לפתוח במהלך טוב יותר? אם מסתכלים בתשומת לב, רואים כי מן הרגע שעוברים את 5, אין באמת הרבה אפשרויות. מי שמניח את הדסקית על 5 ינצח משום שבאחד התורים הבאים הוא יוכל להעביר את אבן המשחק מ-19 ל-23 ולהותיר את היריב בלי אפשרות להמשיך. מהלך הפתיחה הוא אפוא חיוני.

ומה אם נשנה מעט את המשחק? נניח שאפשר להזיז את הדסקית קדימה אל מספר ראשוני שנמצא במרחק של שבע משבצות לכל היותר. עכשיו יכולים השחקנים להגיע קצת יותר רחוק. בפרט, הם יכולים לעבור את 23, מכיוון ש-29 נמצא במרחק של שישה צעדים קדימה. האם גם הפעם יש חשיבות מכרעת למהלך הפתיחה? איפה יסתיים המשחק? אם תשחקו במשחק תגלו שיש הרבה יותר אפשרויות, במיוחד כשיש זוג של מספרים ראשוניים תאומים.

במבט ראשון נראה שלנוכח אפשרויות רבות כל כך לא משנה מהו מהלך הפתיחה. אבל הסתכלו שוב. אם תמצאו את עצמכם במספר 89, הפסדתם, כי המספר הראשוני הבא אחרי 89 הוא 97, שמונה משבצות קדימה. אם תחזרו על המספרים הראשוניים שהשתמשתם בהם כדי להגיע לכאן, תמצאו כי למספר 67 יש חשיבות מכרעת: במשבצת שלו אפשר להחליט לאיזה מספר ראשוני מבין צמד התאומים 71 ו-73 צריך להעביר את הדסקית. אחד מהם הוא הבחירה המנצחת. השני יגרור הפסד במשחק, מפני שכל המהלכים הבאים ייכפו עליכם. מי שמגיע ל-67 יכול לנצח במשחק, ונראה כי 89 לא חשוב במיוחד. אז איך אפשר להבטיח שתגיעו לשם?

אם תמשיכו לשחזר את המהלכים שלכם במשחק תגלו כי מי שמגיע אל המספר הראשוני 37 צריך לקבל החלטה מכרעת. מכאן תוכלו להגיע אל המספרים הראשוניים התאומים של בנותי, 41 ו-43, ולהבטיח ניצחון במשחק. עכשיו נראה שהמשחק מוכרע בידי מי שמצליח לגרום ליריב להזיז אותו אל המספר הראשוני 37. אם ממשיכים לשחק "לאחור" באותה הדרך מגלים שאכן יש מהלך פתיחה מנצח. אם תשימו את הדסקית על 5, תבטיחו את היכולת לקבל את כל ההחלטות הגורליות הדרושות כדי שלבסוף תניחו את האבן על 89 ותנצחו במשחק, שכן במצב הזה לא יוכל היריב לזוז.

ומה אם נמשיך ונגדיל עוד יותר את הקפיצה המְרבית המותרת: האם תמיד נוכל להיות בטוחים שהמשחק ייגמר? ומה אם נרשה לכל שחקן קפיצה מְרבית של 99 צעדים – האם נוכל להיות בטוחים שהמשחק לא פשוט יימשך לנצח, מכיוון שתמיד אפשר יהיה לקפוץ אל המספר הראשוני הבא, במרחק של עד 99 צעדים מן המספר הראשוני האחרון? הרי ידוע לנו שיש אינסוף מספרים ראשוניים, אז אולי בנקודה מסוימת פשוט אפשר לקפוץ ממספר ראשוני אחד אל הבא אחריו.

האמת היא שאפשר להוכיח שהמשחק תמיד מסתיים. הגדילו את הקפיצה המְרבית ככל שתגדילו, תמיד יהיה מרווח נטול מספרים ראשוניים שיהיה גדול מן הקפיצה המְרבית, ושם יסתיים המשחק. קחו את המספר 1×2×3×...97×98×99×100. המספר הזה מוּכּר כ-100 עֲצֶרֶת, וכותבים אותו !100. אנחנו נשתמש בעובדה חשובה לגבי המספר הזה: לא חשוב באיזה מספר בין 1 ו-100 בוחרים, !100 מתחלק בו.

התבוננו ברצף הבא של מספרים עוקבים:

100א+!100 ,99א+!100 ,98א+!100 ,... ,4א+!100 ,3א+!100 ,2א+!100

+2!100 הוא לא מספר ראשוני כי הוא מתחלק ב-2. בדומה, +3!100 לא ראשוני כי הוא מתחלק ב-3. (!100 מתחלק ב-3, ואם מוסיפים 3 מקבלים מספר שעדיין מתחלק ב-3.) למעשה, אף אחד מן המספרים האלה אינו מספר ראשוני. לדוגמה, 53א+!100, שאינו ראשוני כיוון ש-!100 מתחלק ב-53, ואם מוסיפים לו 53, התוצאה עדיין מתחלקת ב-53. הנה לכם 99 מספרים עוקבים שאף אחד מהם אינו מספר ראשוני. התחלנו ב-2א+!100 ולא ב-1א+!100 כי בשיטה הזאת, כל מה שנוכל לומר על 1א+!100 זה שהוא מתחלק ב-1, מה שלא עוזר לנו לדעת אם הוא מספר ראשוני (האמת היא שהוא לא).

באתר הזה תמצאו מידע על נקודת הסיום של משחק הקלאס עבור קפיצות הולכות וגדֵלות: http://bit.ly/Primehopscotch. תוכלו גם לסרוק את הקוד הזה בעזרת הטלפון הנייד שלכם.

אנחנו יודעים אפוא בבטחה שאם נגביל את הקפיצה המְרבית ל-99, קלאס המספרים הראשוניים שלנו יסתיים בנקודה זו. אלא ש-!100 הוא מספר גדול עד כדי גיחוך. המשחק בעצם הסתיים הרבה לפני הנקודה הזאת: המקרה הראשון שבו באים 99 מספרים לא-ראשוניים אחרי מספר ראשוני הוא 396,733.

המשחק המשעשע הזה מגלה בבירור עד כמה בלתי צפוי הוא הפיזור של המספרים הראשוניים ביקום המספרים. במבט ראשון נראה שאין דרך לדעת איפה למצוא את המספר הראשוני הבא. ואולם, אם אין באפשרותנו למצוא תחבולה מתוחכמת שתעזור לנו לנווט ממספר ראשוני אחד למשנהו, האם נוכל למצוא לפחות נוסחאות מתוחכמות כדי ליצור מספרים ראשוניים?

האם ניתן להשתמש בארנבים ובחמניות כדי למצוא מספרים ראשוניים?

סִפרו את עלי הכותרת של פרח החמנית. לעיתים קרובות יש לו 89 עלי כותרת – מספר ראשוני. גם מספר זוגות הארנבים אחרי 11 דורות הוא 89. האם ארנבים וחמניות גילו נוסחה סודית כלשהי למציאת מספרים ראשוניים? לא בדיוק. הם אוהבים את המספר 89 לא משום שהוא ראשוני, אלא משום שהוא שייך לעוד סוג של מספרים החביבים על הטבע – מספרי פיבּוֹנָצ'י. פיבּוֹנָצ'י, מתמטיקאי איטלקי מפיזה, גילה את סדרת המספרים החשובה הזאת בשנת 1202, כשניסה להבין את אופן ההתרבות של ארנבים (מבחינה ביולוגית, לא מבחינה מתמטית).

איור 1.22: מספרי פיבונצ'י הם המפתח לחישוב הגידול באוכלוסיית ארנבים.

פיבונצ'י התחיל כשהעלה בדמיונו זוג גורי ארנבים, זכר ונקבה. נקרא לשלב ההתחלתי הזה חודש 1. בחודש 2 גדלו הארנבים והיו לזוג בוגר שיכול להזדווג ולהביא לעולם זוג חדש של גורי ארנבים בחודש 3 (לצורך התרגיל המחשבתי הזה, הוולדות כולם הם זכר ונקבה). בחודש 4 מוליד הזוג הבוגר הראשון עוד זוג של גורי ארנבים. הזוג הראשון של גורי הארנבים שלהם כבר הגיע לבגרות, כך שעכשיו יש שני זוגות ארנבים בוגרים וזוג אחד של גורי ארנבים. בחודש 5, שני הזוגות של הארנבים הבוגרים מביאים לעולם זוג גורים. הגורים מחודש 4 נעשים לבוגרים. וכך בחודש 5 יש שלושה זוגות ארנבים בוגרים ושני זוגות גורים, כלומר, חמישה זוגות ארנבים בסך הכול. מספר זוגות הארנבים בחודשים שלאחר מכן ניתן על ידי הסדרה הבאה:

... ,89 ,55 ,34 ,21 ,13 ,8 ,5 ,3 ,2 ,1 ,1

הצורך לעקוב אחרי כל הארנבים המתרבים האלה היה כאב ראש לא קטן, עד שפיבונצ'י מצא דרך קלה לחשב את המספרים. כדי לקבל את המספר הבא בסדרה פשוט מחברים את שני המספרים הקודמים. המספר הגדול מבין השניים הוא כמובן מספר זוגות הארנבים עד לאותה נקודה. כולם חיים עד החודש הבא, והמספר הקטן מבין השניים הוא מספר הארנבים הבוגרים. כל אחד מזוגות הארנבים הבוגרים האלה מוליד זוג נוסף של גורי ארנבים, ומספר הארנבים בחודש שלאחר מכן הוא סכום המספרים משני הדורות הקודמים.

כמה מן הקוראים יזהו אולי את הסדרה הזאת מן הספר צופן דה וינצ'י של דן בראון. שם, המספרים האלה הם בעצם הצופן הראשון שעל הגיבור לפצח בדרכו אל הגביע הקדוש.

ארנבים ודן בראון אינם היחידים שמחבבים את המספרים האלה. מספר עלי הכותרת בפרחים הוא לעיתים קרובות מספר פיבונצ'י. לטְרילְיוּם יש שלושה, לאמנון ותמר חמישה, לדורבָּנית שמונה, לציפורן 13, לעוֹלֶש 21, לחרצית 34 ולחַמניות יש לעיתים קרובות 55 ואפילו 89 עלי כותרת. לצמחים מסוימים, למשל סוגים מסוימים של שושן, יש פרחים ולהם מספר עלי כותרת כפול ממספר פיבונצ'י. הצמחים האלה בנויים מפרח כפול. ואם לפרח שלכם אין מספר עלי כותרת שהוא מספר פיבונצ'י, עלה כותרת אחד פשוט נפל, מן הסתם... כך מתמודדים מתמטיקאים עם מקרים חריגים (איני מעוניין שגננים זועמים יציפו אותי במכתבים, על כן אודה מראש בקיומם של מספר מקרים חריגים שאינם רק פרחים נבולים. לכוכבית, למשל, יש לעיתים קרובות שבעה עלי כותרת. הביולוגיה לעולם אינה מושלמת כמו המתמטיקה).

חוץ מאשר בפרחים, אפשר למצוא את מספרי פיבונצ'י לאורכם ולרוחבם של האצטרובל ושל האננס. חִתכו בננה לרוחב ותגלו שהיא מחולקת ל-3 גזרות. התבוננו בחתך של תפוח, העובר במרכזו, בין הגבעול והבסיס, ותגלו כוכב מחומש. חתך דומה באפרסמון ייתן לכם כוכב מתומן. לא משנה אם מדובר באוכלוסיות ארנבים או במבנה של חמנית או של פרי, מספרי פיבונצ'י מבצבצים בכל מקום שמתרחש בו תהליך של גידול.

איור 1.23: איך בונים קונכייה עם מספרי פיבונצ'י.

אופן ההתפתחות של קונכיות קשור גם הוא קשר הדוק אל המספרים האלה. החילזון התינוק מתחיל את חייו עם קונכייה זעירה, בעצם בית ריבועי בגודל של אחד-על-אחד. כשהוא גדֵל ביחס לקונכייה, הוא מוסיף עוד חדר לבית, וממשיך בתהליך ככל שנמשכת הגדילה. מאחר שאין לו שטח רב כדי לבנות עליו, הוא פשוט מוסיף חדר שממדיו מבוססים על הממדים של שני החדרים הקודמים, ממש כמו שמספרי פיבונצ'י הם סכום שני המספרים הקודמים. תוצאת הגידול הזה היא ספירלה פשוטה אך יפהפייה.

בעצם לא ממש מדויק לקרוא למספרים האלה על שם פיבונצ'י, שכן הוא לא הראשון שנתקל בהם. למעשה, הם כלל לא התגלו בידי מתמטיקאים, אלא בידי משוררים ומוזיקאים בהודו בימי הביניים. המשוררים והמוזיקאים ההודים היו להוטים לחקור ולבדוק כל מבנה מקצבי אפשרי שניתן ליצור באמצעות צירופים של יחידות מקצב קצרות וארוכות. אם האורך של צליל ארוך כפול מזה של צליל קצר, כמה תבניות שונות יש למספר נתון של פעימות? לדוגמה, עם שמונה פעימות אפשר שיהיו ארבעה צלילים ארוכים או שמונה צלילים קצרים. ובין שני המקרים הקיצוניים האלה יש עוד המון אפשרויות.

במאה השמונה-עשרה לקח על עצמו הסופר ההודי וירָהָאנְקָה לקבוע בדיוק כמה מקצבים שונים הם בגדר האפשר. הוא גילה כי ככל שגדֵל מספר הפעימות, ניתן מספר התבניות המקצביות האפשריות על ידי הסדרה הבאה: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … הוא הבין, ממש כמו פיבונצ'י, שכדי לקבל את המספר הבא בסדרה צריך פשוט לחבר את שני המספרים הקודמים. ואם רוצים לדעת כמה מקצבים בני שמונה פעימות הם בגדר האפשר, צריך ללכת אל האיבר השמיני בסדרה, המתקבל מחיבור של 13 ו-21, כלומר, 34 תבניות מקצביות שונות.

אולי קל יותר להבין את המתמטיקה שמאחורי המקצבים האלה מאשר לעקוב אחרי הגידול באוכלוסיית הארנבים של פיבונצ'י. למשל, כדי לקבל את מספר המקצבים בני שמונה הפעימות, לוקחים את מספר המקצבים בני שש הפעימות ומוסיפים צליל ארוך, או שלוקחים את מספר המקצבים בני שבע הפעימות ומוסיפים צליל קצר.

יש קשר מעניין מאוד בין סדרת פיבונצ'י לבין גיבורי הפרק הזה, המספרים הראשוניים. התבוננו במספרים הראשוניים בסדרת פיבונצ'י:

... ,144 ,89 ,55 ,34 ,21 ,13 ,8 ,5 ,3 ,2 ,1 ,1

כל מספר פיבונצ'י במקום ה-p, כאשר p הוא מספר ראשוני, הוא מספר ראשוני בעצמו. לדוגמה, 11 הוא מספר ראשוני, ומספר פיבונצ'י ה-11 הוא 89, שהוא מספר ראשוני. אם הדבר היה נכון תמיד, מדובר היה בדרך נהדרת לייצר מספרים ראשוניים גדֵלים והולכים. למרבה הצער אין זה כך. מספר פיבונצ'י ה-19 הוא 4,181, ואם כי 19 הוא מספר ראשוני, 4,181 אינו ראשוני: הוא שווה ל-113×37. אף מתמטיקאי עדיין לא הצליח להוכיח אם יש אינסוף מספרי פיבונצ'י שהם מספרים ראשוניים. הרי לכם עוד אחת מן התעלומות המתמטיות הבלתי פתורות של המספרים הראשוניים.

איך מוצאים מספרים ראשוניים בעזרת אורז ולוח שחמט?

האגדה מספרת שמשחק השחמט הומצא בהודו בידי מתמטיקאי. המלך כל כך רצה להודות למתמטיקאי עד שביקש ממנו לנקוב בכל מחיר שיחפוץ כפרס על המצאתו. הממציא חשב רגע, ואז ביקש שישימו גרגר אורז אחד על המשבצת הראשונה בלוח השחמט, 2 על השנייה, 4 על השלישית, 8 על הרביעית וכן הלאה, כאשר בכל משבצת כמות כפולה של גרגרי אורז ביחס למשבצת הקודמת.

המלך נדהם מבקשתו הצנועה של המתמטיקאי ונענה ברצון – אבל מה שקרה לאחר מכן היכה אותו בתדהמה. כשהתחיל להניח גרגרי אורז על הלוח, כמעט אי-אפשר היה לראות את הגרגרים הראשונים. אבל כשהגיע אל המשבצת ה-16 הוא כבר נזקק לקילוגרם נוסף של אורז. במשבצת ה-20 היה על משרתיו להביא מריצה מלאה. הוא מעולם לא הגיע אל המשבצת ה-64, האחרונה בלוח. אם היה מגיע אליה, המספר הכולל של גרגרי האורז על הלוח היה מסתכם במספר המדהים:

18,446,744,073,709,551,615

אם היינו מנסים לשחזר את המבצע הזה בליבה של לונדון, ערימת האורז במשבצת ה-64 היתה מגיעה עד לכביש M25 שמקיף את העיר, והיתה כה גבוהה עד שהיתה מכסה כל בניין אחר בעיר. למעשה, כמות האורז בערימה כזאת היתה עולה על כמות האורז שגוּדל בעולם כולו באלף האחרון.

איור 1.24: הכפלה חוזרת ונשנית מגדילה ערכים מספריים במהירות רבה מאוד.

אין זה מפתיע שמלך הודו לא הצליח לתת למתמטיקאי את הפרס המבוקש ונאלץ לחלוק עימו חצי מממונו. זאת אחת הדרכים שבהן יכולה המתמטיקה לעשות אתכם עשירים.

אבל איך קשור כל האורז הזה ליכולת למצוא מספרים ראשוניים גדולים? מאז שהוכיחו היוונים כי המספרים הראשוניים ממשיכים עד אינסוף, תרו מתמטיקאים אחר נוסחה מחוכמת שתייצר מספרים ראשוניים גדולים יותר ויותר. אחת הנוסחאות הטובות ביותר התגלתה בידי נזיר צרפתי ושמו מרין מֶרְסֶן. מֶרְסֶן היה חבר קרוב של פייר דה פרמה ושל רְנֶה דֶקָארְט, ושימש כשָׁרָת האינטרנט של המאה השבע-עשרה. הוא קיבל מכתבים ממדענים מכל רחבי אירופה ושלח רעיונות לאלה שחשב שיוכלו להמשיך ולפתח אותם.

התכתובת שלו עם פרמה הובילה לגילוי של נוסחה רבת-עוצמה למציאת מספרים ראשוניים עצומים. הסוד של הנוסחה טמון בסיפור האורז ולוח השחמט. כשסופרים את מספר גרגרי האורז החל במשבצת הראשונה בלוח השחמט והלאה, מתברר שהסכום המצטבר הוא לעיתים קרובות מספר ראשוני. לדוגמה, אחרי שלוש משבצות יש 1+2+4=7 גרגרי אורז – מספר ראשוני. עד המשבצת החמישית כבר יש 1+2+4+8+16=31 גרגרי אורז.

מרסן תהה אם בכל פעם שעוצרים במשבצת שמספרה הוא מספר ראשוני, גם המספר המצטבר של גרגרי האורז הוא מספר ראשוני. אם אכן כך, מדובר בדרך ליצור מספרים ראשוניים גדֵלים והולכים. אחרי שמונים מספר מצטבר ראשוני של גרגרי אורז, פשוט זזים אל המשבצת הזאת על לוח השחמט ומונים את המספר המצטבר של הגרגרים עד לאותה משבצת. מרסן קיווה שזהו מספר ראשוני גדול עוד יותר.

לרוע מזלו של מרסן, וגם של המתמטיקה, הרעיון לא ממש עבד. כשמגיעים בלוח השחמט אל המשבצת ה-11 – מספר ראשוני – אז עד לאותה נקודה יש 2,047 גרגרי אורז. למרבה הצער, 2,047 אינו מספר ראשוני – הוא שווה ל-89×23. ואולם, אף על פי שהרעיון של מרסן לא תמיד עובד, בכל זאת הוא הוביל למציאתם של כמה מן המספרים הראשוניים הגדולים שהתגלו מעולם.

ספר השיאים של המספרים הראשוניים

בזמן שלטונה של המלכה אליזבת הראשונה, המספר הראשוני הידוע הגדול ביותר היה המספר המצטבר של גרגרי אורז על הלוח עד למשבצת ה-19: 524,287. כשלחם לורד נלסון בקרב טְרָפַלגַר, שיא המספרים הראשוניים עלה אל המשבצת ה-31 בלוח השחמט: 2,147,483,647. היותו של המספר הזה, בן עשר הספרות, מספר ראשוני זכתה להוכחה ב-1772 בידי המתמטיקאי והפיזיקאי השוויצרי ליאונרד אוֹילֶר, שיא שנשמר עד 1867.

ב-4 לספטמבר 2006 עלה השיא למספר המצטבר של גרגרי האורז עד למשבצת ה-32,582,657, אם רק היה לנו לוח שחמט גדול מספיק. המספר הראשוני הזה הוא בן יותר מ-9.8 מיליון ספרות, ויידרש יותר מחודש וחצי כדי לקרוא אותו בקול רם. הוא לא התגלה באמצעות מחשב-על ענקי, אלא בידי מתמטיקאי חובב שהשתמש בתוכנה שהוריד מן האינטרנט.

הרעיון שמאחורי התוכנה הזאת הוא לבצע את החישובים הדרושים בזמן שהמחשב לא נמצא בשימוש. תוכנית המחשב עושה שימוש מתוחכם בשיטה שפותחה כדי לבדוק אם מספרי מרסן הם ראשוניים. כדי לבדוק מספרי מרסן בני 9.8 מיליון ספרות נדרשים אומנם כמה חודשי עבודה של המחשב השולחני, ובכל זאת מדובר בהליך מהיר הרבה יותר בהשוואה לבדיקה אם מספר אקראי בגודל כזה הוא ראשוני. ב-2009 כבר הצטרפה יותר מרבבת אנשים אל מה שנודע כחיפוש האינטרנטי הגדול של המספרים הראשוניים של מרסן, או בראשי תיבות באנגלית, GIMPSא (Great Internet Mersenne Prime Search).

ובכל זאת, היזהרו – החיפוש אינו נטול סיכונים. אחד ממגויסי GIMPS, שעבד בחברת טלפונים בארצות הברית, החליט לגייס 2,585 ממחשבי החברה לשם חיפוש אחר המספרים הראשוניים של מרסן. כשנדרשו למחשבים חמש דקות במקום חמש שניות כדי למצוא מספרי טלפון, מישהו בחברה התחיל לחשוד שמשהו אינו כשורה. כשגילה לבסוף האף-בי-איי את מקור ההאטה, התוודה העובד: "כל כוח החישוב העצום הזה פשוט היה מפתה מדי." חברת הטלפונים לא הפגינה סימפתיה לחיפוש המדעי ומיהרה לפטר אותו.

אם אתם רוצים לצרף את המחשב שלכם ל-GIMPS, ניתן להוריד את התוכנה ב-

www.mersenne.org, או לסרוק את הקוד הזה בעזרת הטלפון הנייד שלכם.

אחרי ספטמבר 2006 עצרו מתמטיקאים רבים את נשימתם וחיכו לראות אם השיא יעבור את מחסום 10,000,000 הספרות. הסיבות לציפייה הדרוכה היו לא רק אקדמיות – פרס של 100,000 דולר חיכה לראשון שיגיע לשם. סכום הפרס גויס על ידי קרן החזית האלקטרונית, ארגון שמעודד שיתופי פעולה בסַייבֶּרסְפֵּייס ומרכזו בקליפורניה.

עברו עוד שנתיים עד שנשבר השיא. בהשתלשלות מקרים אכזרית נמצאו שני מספרים ראשוניים ששברו את השיא בתוך מספר ימים. מחפש חובב של מספרים ראשוניים, הנס-מייקל אֶלְווניך מגרמניה, כבר היה בטוח שלקח את כל הקופה כשהודיע המחשב שלו, ב-6 בספטמבר 2008, כי מצא מספר מרסן חדש בן 11,185,272 ספרות. ואולם, כשבישר את דבר התגלית להנהלת הקרן, הפכה ההתרגשות לייאוש – מישהו הקדים אותו בשבועיים. ב-23 באוגוסט מצא המחשב של אֶדסון סמית, במחלקה למתמטיקה באוניברסיטת קליפורניה בלוס אנג'לס, מספר ראשוני גדול עוד יותר, בן 12,978,189 ספרות. שבירת שיאים של מספרים ראשוניים אינה בגדר חידוש בקרב אנשי האוניברסיטה הזאת. מתמטיקאי ושמו רפאל רובינסון, חבר סגל האוניברסיטה, גילה חמישה מספרי מרסן בשנות החמישים, ושניים נוספים נמצאו בידי אלכס הורביץ בתחילת שנות השישים של המאה העשרים.

מפתחי התוכנית שבשימוש GIMPS הסכימו שכספי הפרס לא יוענקו פשוט לאדם שהתמזל מזלו לבדוק את מספר מרסן המסוים הזה. 5,000 דולר הוענקו למפתחי התוכנה, 20,000 דולר חולקו בין שוברי השיאים בעזרת התוכנה מאז 1999, 25,000 דולר ניתנו לצדקה והיתרה הוענקה לאדסון סמית בקליפורניה.

אם עודכם מעוניינים לזכות בפרס כספי על מציאת מספרים ראשוניים, העובדה שגבול 10,000,000 הספרות כבר נחצה לא צריכה להדאיג אתכם. לכל מספר מרסן ראשוני חדש מוצע פרס של 3,000 דולר. אבל אם אתם רוצים כסף גדול, יש פרס של 150,000 דולר על שבירת שיא 100 מיליון הספרות, ושל 200,000 דולר אם תוכלו לעבור את גבול מיליארד הספרות. הודות ליוונים הקדמונים ידוע לנו שמספרים ראשוניים שוברי שיאים מעין אלה מחכים אי-שם למי שיגלה אותם. השאלה היחידה היא עד כמה תכרסם האינפלציה בערכם של הפרסים האלה עד שמישהו יטען שוב לפרס הבא.

איך כותבים מספר בן 12,978,189 ספרות

המספר הראשוני של אדסון סמית גדול באופן יוצא מגדר הרגיל. נחוצים 3,000 עמודים בגודל של עמודי הספר הזה כדי לכתוב את כל הספרות בו, אבל למרבה המזל, מעט מתמטיקה יכולה לספק נוסחה שתתאר אותו בצורה תמציתית הרבה יותר.

המספר הכולל של גרגרי האורז עד למשבצת ה-N של לוח השחמט הוא

R = 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2N-2 + 2N-1

הנה התחבולה למציאת הנוסחה למספר הזה. במבט ראשון היא נראית חסרת כל שימוש, מכיוון שהיא כה ברורה מאליה: R=2R-R. איך למען השם יכולה משוואה טריוויאלית כל כך לעזור לנו לחשב את R? במתמטיקה יש לפעמים טעם להסתכל על דברים מזווית קצת שונה, ופתאום הכול עשוי להיראות לגמרי אחרת.

קודם בואו נחשב את 2R, כלומר, פשוט נכפיל את כל האיברים בסכום הגדול. העניין הוא שאם מכפילים את מספר הגרגרים באחת המשבצות, התוצאה זהה למספר הגרגרים במשבצת הבאה. לכן

2R = 2 + 4 + 8 + 16 + … + 2N-1 + 2 N

הצעד הבא הוא להחסיר את R. הפעולה הזאת פשוט תפיל את כל האיברים של 2R למעֵט האיבר האחרון:

R = 2R-R = (2 + 4 + 8 + 16 + … + 2N-1 + 2N)-(1 + 2 + 4 + 8 +...

+ 2N-2 + 2N-1)

= (2 + 4 + 8 + 16 + … + 2N-1) + 2N-1-(2 + 4 + 8 + …

+ 2N-2 + 2N-1)

= 2N-1

וכך, המספר הכולל של גרגרי האורז במשבצת ה-N של לוח השחמט הוא 2N-1, והנוסחה הזאת אחראית למספרים הראשוניים שוברי השיאים של ימינו. על ידי הכפלה מספקת והחסרת 1 מן התשובה תוכלו לקוות שתפגעו במספר מרסן ראשוני, כפי שמכונים המספרים הראשוניים שנמצאו בעזרת שימוש בנוסחה הזאת. כדי לקבל את המספר הראשוני בן 12,978,189 הספרות של אדסון סמית, יש להשתמש ב-N=43,112,609.

איך חוצים את היקום עם אטריית דרקון

אורז הוא לא המזון היחיד שקשור לניצול עוצמתה של ההכפלה כדי ליצור מספרים גדולים. אטריות דרקון, או אטריות לה מיאַן, מיוצרות באופן מסורתי על ידי מתיחה של הבצק בין הידיים וקיפולו בחזרה כדי להכפיל את אורכו. בכל פעם שמותחים את הבצק, מתארכת האטרייה ונעשית דקה יותר, אבל צריך לעבוד בזריזות מכיוון שהבצק מתייבש מהר ומתפרק למעין דייסת אטריות.

טבחים ברחבי אסיה מתחרים על תואר אלוף הכפלת האטריות, וב-2001 הצליח השף הטייוואני צ'אנג הוּן-יוּ להכפיל את הבצק שלו 14 פעמים בשתי דקות. האטרייה שהתקבלה היתה דקה כל כך שאפשר היה להעביר אותה בקוֹף של מחט. עוצמת ההכפלה היא כה גדולה עד שהאטרייה האמורה היתה יכולה להגיע מן המסעדה של השף צ'אנג במרכז טָאיפֵּי עד לפאתי העיר. כשחתכו אותה, התקבלו 16,384 אטריות.

זה כוחה של ההכפלה, שיכולה ליצור מספרים גדולים ביותר במהירות רבה. למשל, אם צ'אנג הוּן-יוּ היה יכול להמשיך ולהכפיל את האטרייה שלו 46 פעמים, העובי שלה היה כעוביו של אטום והיא היתה מגיעה מטָאיפֵּי עד לקצה מערכת השמש. הכפלת האטרייה 90 פעמים תיקח אתכם מצידו האחד של היקום הנראה אל צידו האחר. אם תכפילו את האטרייה 43,112,609 פעמים ותחסירו אטרייה אחת, תבינו את שיעור השיא הנוכחי של המספרים הראשוניים, שהתגלה ב-2008.

מה הסיכוי שמספר הטלפון שלכם הוא מספר ראשוני?

אחד הדברים היורָמיים שנוהגים מתמטיקאים לעשות הוא לבדוק אם מספר הטלפון שלהם הוא מספר ראשוני. לא מזמן עברתי דירה והיה עלי להחליף את מספר הטלפון שלי. בבית הקודם (מספר 53 – מספר ראשוני) לא היה לי מספר טלפון ראשוני, וקיוויתי שהפעם, בבית החדש (מספר 1 – ראשוני לשעבר), יתמזל מזלי.

המספר הראשון שהקצתה לי חברת הטלפונים נראה מבטיח, אבל כשהזנתי אותו למחשב גיליתי שהוא מתחלק ב-7. "אני לא בטוח שאוכל לזכור את המספר הזה... אפשר לקבל מספר אחר?" גם המספר הבא היה לא ראשוני – הוא התחלק ב-3 (מבחן קל כדי לבדוק אם המספר שלכם מתחלק ב-3: סכמו את כל הספרות של מספר הטלפון שלכם; אם המספר שקיבלתם מתחלק ב-3, גם המספר המקורי מתחלק ב-3). אחרי שלושה ניסיונות נוספים קטע אותי נציג החברה בנימה כעוסה: "אדוני, חוששני שפשוט אתן לך את המספר הבא שאקבל." אבוי, עכשיו יש לי מספר טלפון זוגי, מכל המספרים שבעולם!

מה היו אפוא הסיכויים שאקבל מספר טלפון ראשוני? במספר שלי יש שמונה ספרות. יש סיכוי של כ-1 ל-17 שמספר בן שמונה ספרות הוא ראשוני, אבל איך משתנה ההסתברות ככל שגדֵל מספר הספרות? לדוגמה, יש 25 מספרים ראשוניים עד ל-100, כלומר, למספר בן שתי ספרות או פחות יש סיכוי של 1 ל-4 להיות ראשוני. כשסופרים מ-1 עד 100 מקבלים בממוצע מספר ראשוני בכל ארבעה מספרים. אלא שהמספרים הראשוניים נעשים נדירים יותר ויותר ככל שממשיכים לספור.

הטבלה הבאה מראה את השינוי בהסתברות:

מספר הספרות

הסיכוי למספר ראשוני

1 או 2

1 ל-4

3

1 ל-6

4

1 ל-8.1

5

1 ל-10.4

6

1 ל-12.7

7

1 ל-15.0

8

1 ל-17.4

9

1 ל-19.7

10

1 ל-22.0

טבלה 1.2

המספרים הראשוניים נעשים נדירים יותר ויותר, אם כי בצורה מסודרת מאוד. בכל פעם שמוסיפים ספרה, יורדת ההסתברות באותה מידה בערך, 2.3. הראשון שהבחין בכך הוא נער בן 15. שמו קארל פרידריך גָאוּס (1777-1885) והוא היה לאחד המתמטיקאים הגדולים בהיסטוריה.

התגלית של גאוס אירעה אחרי שקיבל ספר של טבלאות מתמטיות במתנה ליום ההולדת. בגב הספר היתה טבלה של מספרים ראשוניים. הכפייתיות שנתקף בה ביחס למספרים הראשוניים היתה כה עזה, עד שכל חייו הוא בילה את זמנו החופשי בהוספה של עוד ועוד מספרים לטבלה הזאת. גָאוּס היה מתמטיקאי יישומי שאהב לשחק בנתונים, ולדעתו נמשך הדילול במספרים הראשוניים עוד ועוד בצורה אחידה, לא משנה עד כמה נרחיק למנות ביקום המספרים.

אבל איך נדע בביטחון שלא יקרה פתאום משהו מוזר כשנגיע למספרים בני 100 ספרות או 1,000,000 ספרות? האם ההסתברות עדיין תתנהג בצורה דומה, הוספת 2.3 עם כל ספרה חדשה, או שמא יתחילו לפתע ההסתברויות להתנהג בצורה שונה לגמרי? גאוס סבר שהתבנית תמיד תישמר, אלא שרק ב-1896 נמצאה ההצדקה לטענתו זו. שני מתמטיקאים, ז'אק אָדָמַר ושארל דֵה לָה וָאלֵה-פּוּסֶן, הוכיחו באופן בלתי תלוי את מה שמכונה כיום משפט המספרים הראשוניים: שהמספרים הראשוניים תמיד יידללו באותו אופן אחיד.

התגלית של גאוס הולידה מודל חזק ביותר שעוזר לחזות חלק גדול מהתנהגותם של המספרים הראשוניים. נדמה שהטבע בוחר את המספרים הראשוניים באמצעות סדרה של אבני משחק שכל פאותיהן ריקות, להוציא אחת שכתוב עליה "מספר ראשוני":

איור 1.25: אבני המשחק של הטבע לבחירת המספרים הראשוניים.

כדי להחליט אם מספר מסוים יהיה ראשוני, הטילו את אבן המשחק. אם היא נוחתת ו"מספר ראשוני" פונה כלפי מעלה, סמנו את המספר כראשוני. אם הפאה הפונה כלפי מעלה ריקה, המספר אינו ראשוני. מובן שזה רק מודל לצורך הסבר – אי-אפשר להפוך את 100 למספר אי-פָּריק רק על ידי הטלת קובייה. ובכל זאת, המודל הזה ייתן סדרת מספרים שאפשר להניח שהתפלגותם דומה מאוד להתפלגות המספרים הראשוניים. משפט המספרים הראשוניים של גאוס אומר לנו כמה פאות יש לאבן המשחק. למשל, למספרים בני שלוש ספרות יש להשתמש באבן בעלת שש פאות, או קובייה, עם "מספר ראשוני" על פאה אחת. למספרים בני ארבע ספרות יש להשתמש באבן משחק בעלת שמונה פאות – אוֹקְטָהֶדְרוֹן או תְּמָנִיוֹן. לחמש ספרות – אבן משחק בעלת 10.4 פאות... מיותר לציין שכל אלה אבני משחק תיאורטיות, שהרי אין בנמצא פאון בעל 10.4 פאות.

מהי בעיית מיליון הדולר של המספרים הראשוניים?

שאלת מיליון הדולר נסבה על טבען של אבני המשחק האלה: האם אבני המשחק הוגנות או לא? האם אבני המשחק מפזרות את המספרים הראשוניים ביקום המספרים ללא משוא פנים, או שמא קיימים אזורים מוּטים, שבחלקם יש מספרים ראשוניים רבים מדי ובחלקם מעטים מדי? שמה של הבעיה הזאת הוא השערת רימַן.

בּרנהרד רימַן היה תלמידו של גָאוּס בעיר הגרמנית גֵטינְגֶן. הוא פיתח מתמטיקה מתקדמת מאוד שמאפשרת לנו להבין איך קוביות המספרים הראשוניים האלה מפזרות את המספרים הראשוניים. רימן השתמש בכלי שנקרא פונקציית זֵטָה ובמספרים מיוחדים שנקראים מספרים מדומים, וכן בכמות עצומה של אנליזה מתמטית, כדי להבין את המתמטיקה השולטת בנפילה של אבני המשחק האלה. האנליזה שלו הובילה אותו להשערה שאבני המשחק אמורות להיות הוגנות, אבל הוא לא הצליח להוכיח זאת. זה מה שעליכם לעשות אם ברצונכם להוכיח את השערת רימן.

דרך נוספת להבין את השערת רימן היא להשוות את המספרים הראשוניים למולקולות גז בחדר. ברגע נתון, אי-אפשר לדעת איפה נמצאת כל מולקולה, אבל על פי חוקי הפיזיקה יהיו המולקולות מפוזרות באופן אחיד למדי בחדר. לא ייתכן שבפינה אחת של החדר ייווצר ריכוז של מולקולות ובפינה אחרת יהיה רִיק מוחלט. להשערת רימן יהיו השלכות דומות לגבי המספרים הראשוניים. היא לא ממש עוזרת לנו לומר איפה ניתן למצוא כל אחד ואחד מן המספרים הראשוניים, אבל היא כן מבטיחה שהם יהיו מפוזרים בצורה הוגנת, אם כי אקראית, ביקום המספרים. לעיתים קרובות די למתמטיקאים בערובה מעין זו כדי לנווט ביקום המספרים במידת ביטחון מספקת. ואולם, עד שיזכה מישהו במיליון הדולר לא נדע בוודאות של ממש מה בדיוק עושים המספרים הראשוניים בעוד אנחנו מונים את דרכנו אל תוך הקוסמוס המתמטי הבלתי נדלה.

1 דג בבל מוזכר במדריך הטרמפיסט לגלקסיה מאת דגלאס אדאמס. אדם המשחיל את הדג הזה לאוזנו יבין כל שפה.