המתמטיקה של החיים והמוות

1 חשיבה מעריכית הכוח האדיר והגבולות המשרים צניעות של ההתנהגות המעריכית

דארן קאדיק הוא מורה לנהיגה בקַלדיקוֹט, עיירה קטנה בדרום ויילס. ב־2009 פנה אליו חבר והציע לו הצעה מפתה: אם ישקיע 3,000 לירות סטרלינג בלבד בחברת השקעות מקומית ואם ישכנע עוד שני בני אדם להשקיע גם הם, יזכה לתשואה של 23,000 לירות בתוך שבועיים בלבד. בתחילה עמד קאדיק בפיתוי מפני שחשד שההצעה טובה מכדי להיות אמיתית, אבל בסופו של דבר שכנעו אותו חבריו ש"אף אחד לא יפסיד, מפני שהתוכנית תמשיך לרוץ עוד ועוד ועוד," והוא החליט לתת את חלקו. קאדיק הפסיד את כל כספו, ועד היום — עשר שנים לאחר מכן — הוא עדיין מתמודד עם התוצאות.

בלי דעת מצא קאדיק את עצמו בתחתיתה של הונאת פירמידה, "תן וקח" שמה, שלא יכלה "להמשיך ולרוץ" עד בלי די. היא נוסדה בתחילת 2008, וכבר בתוך פחות משנה לא היו לה עוד משקיעים והיא התמוטטה. לפני קריסתה מצצה התוכנית 21 מיליון לירות סטרלינג מ־10,000 משקיעים ויותר, מכל רחבי בריטניה, ו־90 אחוזים מהם הפסידו את 3,000 הלירות שהשקיעו בה. תוכנית השקעה שמסתמכת על משקיעים שיגייסו משקיעים אחרים כדי לממש את רווחיהם נועדה לכישלון ידוע מראש. מספר המשקיעים החדשים הנדרשים בכל שלב כפול ממספר החברים בתוכנית בשלב הקודם. אחרי 15 מחזורי גיוס יהיו בפירמידה שכזאת יותר מ־10,000 חברים. זה אולי מספר גדול, אבל "תן וקח" השיגה אותו בקלות. ואולם, כדי להמשיך ולקיימה 15 מחזורים נוספים היה צורך שאחד מכל שבעה בני אדם על פני כדור הארץ ישקיע בה. תופעת הגידול המהיר הזה, שהביאה עד מהרה לידי מחסור בלתי נמנע במגויסים חדשים ומוטטה את התוכנית כולה, נקראת "גידול מעריכי" (אקספוננציאלי).

אין בוכים על חלב שהחמיץ

ערך גדל גידול מעריכי כשקצב הגידול שלו עומד ביחס לגודלו הקיים.4 תארו לכם שאתם פותחים בקבוק חלב בבוקר, ובקטריה יחידה מסוג סטרֶפּטוֹקוקוס פֶקאליס מצליחה להסתנן פנימה לפני שאתם חוזרים ופוקקים אותו. החיידק הזה הוא אחד הגורמים להחמצת החלב ולהתגבנותו. אבל מתא אחד אין צורך לעשות עניין, נכון?5 דאגתנו תגבר אם יתברר לנו שבחלב, כל תא סטרפטוקוקוס יכול להתחלק לשני תאי־בת מדי שעה.6 בכל דור, מספר החיידקים הוא כפולה ב־2 של מספרם בדור הקודם, כלומר מספרם גדל גידול מעריכי.

גרף שמתאר את גדילתו של מספר שצומח צמיחה מעריכית דומה למסלול גלישה מסוג "רבע צינור", החביב על גולשי רולרבליידס וסקֶטבורד ועל רוכבי אופניים. בתחילה, שיפוע הגלישה מתון מאוד — העקומה שטוחה ומתגבהת לאט־לאט (ראו איור 2, הגרף השמאלי). אחרי שעתיים יהיו בחלב 4 חיידקי סטרפטוקוקוס, ואחרי ארבע שעות עדיין יהיו בו 16 בלבד — לא מספר בעייתי במיוחד. אבל עד מהרה גובהה של העקומה ותלילותה גדלים. מספרים שגדלים בקצב מעריכי גדלים לאיטם בתחילה, אבל עד מהרה הם מאיצים וממריאים באופן שנראה מפתיע. אם תחזרו אל החלב אחרי 48 שעות של גידול מעריכי של תאי הסטרפטוקוקוס, כבר יהיו בבקבוק כמעט 1,000 טריליון חיידקים — די הצורך לגבן את דמכם, לא רק את החלב. מספר החיידקים בבקבוק יהיה גדול פי 40,000 ממספר תושבי כדור הארץ. עקומות מעריכיות מכונות לפעמים "עקומות J", מפני שהן דומות למדרון התלול של האות J. מובן שאחרי שהבקטריות מְכלות את כל החומרים המזינים בחלב ומשנות את דרגת החומציות ((pH שלו, יורעו תנאי הצמיחה, כלומר הגידול המעריכי לא יימשך זמן רב יחסית. ואכן, ברוב המצבים המציאותיים גידול מעריכי אינו יכול להימשך ובמקרים רבים הוא אף פתולוגי, שכן מושא הצמיחה מכלה את משאבי הסביבה באורח שאינו בר־קיימא. גידול מעריכי מתמשך של תאים בגוף, למשל, הוא תו ההיכר האופייני של מחלת הסרטן.

איור 2: עקומת צמיחה מעריכית דמוית J (משמאל) ועקומת דעיכה (מימין)

עוד דוגמה לעקומה מעריכית היא מגלשת מים של נפילה חופשית, שנקראת כך מפני שבתחילתה היא תלולה כל כך עד שהגולש חש כאילו הוא נופל. הפעם הגלישה נעשית במורד המגלשה, על פני "עקומת דעיכה" ולא עקומת צמיחה (דוגמה לעקומת דעיכה היא הגרף שבחלקו הימני של איור 2). דעיכה מעריכית קורית כשמספר קטֵן ביחס לגודלו הקיים. תארו לעצמכם שאתם פותחים שקית ענקית של סוכריות M&M ושופכים את תוכנה על השולחן. אכלו תחילה את כל הסוכריות שמונחות כך שהאות M פונה כלפי מעלה, והחזירו את השאר אל השקית. למחרת נערו את השקית וחזרו על הפעולה. בכל פעם שאתם עושים זאת אתם אוכלים כמחצית מן הסוכריות שנותרו בשקית, יהיה מספרן מה שיהיה. מספר הסוכריות הנותרות בכל יום הוא מכפלה של מספרן הקודם ב־1/2, והתוצאה היא דעיכה מעריכית במספר הסוכריות. גם מגלשת המים התלולה מתחילה בצלילה תלולה, כמעט אנכית, כך שגובהו של הגולש מעל פני הקרקע פוחת במהירות רבה, אבל תלילות השיפוע מתמתנת אט־אט. כשמספר הסוכריות בשקית גדול, מספר הסוכריות שאנו אוכלים גדול גם הוא. שיפוע המגלשה קטן עוד ועוד עד שסמוך לסופה היא נעשית כמעט אופקית, וככל שמספר הסוכריות בשקית קטן כן קטן מספר הסוכריות שאנו אוכלים. אף־על־פי שכל סוכרייה נופלת כך שה־M שלה פונה כלפי מעלה או כלפי מטה באופן אקראי שאי־אפשר לחזותו, בפועל מופיע מבנה "מגלשת המים" הצפוי של העקומה שמבטאת את מספר הסוכריות שנותרו בשקית ככל שהימים חולפים.

בפרק הזה נחשוף את הקשרים הסמויים שבין התנהגות מעריכית ובין תופעות יום־יומיות: התפשטותם של מחלה באוכלוסייה נתונה או של מֶם באינטרנט; צמיחתו המהירה של עובר ברחם וריבויו (האטי מדי) של הכסף בחשבון הבנק שלנו; האופן שבו אנו תופסים את הזמן ואפילו התפוצצותה של פצצה גרעינית. ככל שנתקדם נחשוף ביסודיות את מלוא הטרגדיה של הונאת הפירמידה "תן וקח". סיפוריהם של בני אדם שכספם נשאב ונבלע ישמש כדי להדגים עד כמה חשובה החשיבה המעריכית, וזו תעזור לנו לחזות את קצב השינוי, המפתיע לפעמים, של העולם המודרני.

עניין של ריבית

בפעמים הנדירות מדי שמזדמן לי להפקיד כסף בחשבון הבנק שלי אני מתנחם בעובדה שכל כמה שהסכום שיש לי שם קטן, הוא גדל תמיד באופן מעריכי. ואמנם חשבון בנק הוא אחת הסביבות היחידות שבהן אין הגבלה על הגידול המעריכי. מאחר שהריבית נצברת (כלומר, מתווספת לסכום המקורי ומניבה ריבית בעצמה), קצב הגידול של הסכום הכולל בחשבון גדל ביחס לגודלו הנוכחי — כלומר הוא גדל גידול מעריכי. "כסף מניב כסף," אמר בנג'מין פרנקלין, "והכסף שהכסף מניב, מניב עוד כסף." למי שיכול להמתין זמן רב די הצורך, אפילו השקעה קטנה עשויה לצמוח לסכום עתק. אבל רגע, אל תמהרו עדיין לסגור את חסכונותיכם ליום סגריר. אם השקעתם 100 לירות סטרלינג באחוז אחד לשנה יידרשו לכם 900 שנים עד שתהיו מיליונרים. גידול מעריכי אמנם קשור לא פעם בעליות מהירות, אבל אם קצב הגידול וההשקעה המקורית אינם גדולים אפילו הצמיחה המעריכית תהיה אטית.

הצד השני של המטבע הוא הריבית הקבועה (בדרך כלל בשיעור גבוה) שאתם מחויבים בה על יתרת החוב, ולכן החובות על כרטיסי האשראי עלולים לגדול גם הם גידול מעריכי. כמו במשכנתאות, ככל שתקדימו לשלם את חובות כרטיס האשראי שלכם כן יקטן סכום התשלום הכולל, מפני שהגידול המעריכי לא יספיק להמריא.

* * *

תשלום משכנתאות ויתרות חוב אחרות היה אחת הסיבות המרכזיות שבהן תירצו נפגעי "תן וקח" את הצטרפותם לתוכנית מלכתחילה. הפיתוי לקבל כסף מהיר וקל ולהפחית לחצים כספיים היה גדול מדי לרבים מהם, למרות החשש המציק שמשהו אינו כשורה בעסקה כולה. כמו שהודה קאדיק, "הפתגם הוותיק, 'אם משהו נראה טוב מכדי להיות אמיתי הוא כנראה לא אמיתי', התגשם כאן לגמרי."

יוזמות התרגיל, הגמלאיות לורה פוֹקס וקרול צֶ'למֶרס, היו חברות מאז למדו יחד בבית הספר של הנזירות הקתוליות. שתיהן היו מעמודי התווך של קהילתן — האחת סגנית נשיא במועדון "רוטרי" המקומי והאחרת סבתא מהוגנת ומכובדת מאוד — והן ידעו היטב מה הן עושות כשפתחו במבצע ההונאה שלהן. "תן וקח" תוכננה בחוכמה, כך שתפתה משקיעים בכוח בלי להסביר להם את המלכודת שאורבת להם. בניגוד לפירמידות הבנויות בשתי רמות, שבהן האנשים שבראש השרשרת מקבלים כסף ישירות מן המשקיעים שגייסו, פעלה "תן וקח" כתוכנית "אווירון" של ארבע רמות. בתוכנית שכזאת האדם שבראש השרשרת מכונה "טייס", והוא מגייס שני "טייסי משנה", שכל אחד מהם מגייס שני "אנשי צוות", וכל איש צוות מגייס שני "נוסעים". בתוכניתן של פוקס וצ'למרס, ברגע שהושלמה ההיררכיה הזאת של 15 אנשים, שילמו שמונת ה"נוסעים" 3,000 לירות סטרלינג כל אחד למגייסיהם, ואלה העבירו למארגנות שבצמרת 24,000 לירות. מן הסכום הזה נוכו 1,000 לירות; חלק מן הכסף הזה נתרם לצדקה, ומכתבי התודה מארגונים כגון "החברה הלאומית למניעת התאכזרות לילדים" (NSPCC) חיזקו את הלגיטימיות של התוכנית כולה. את השאר שמרו המארגנות בידיהן, כדי להבטיח את המשך פעולתה החלקה של ההונאה.

ברגע שה"טייס" קיבל את חלקו הוא פורש מן התוכנית, ושני טייסי המשנה מקודמים לדרגת טייסים וממתינים לגיוסם של שמונה נוסעים חדשים בתחתית עץ המדרג שלהם. תוכניות "אווירון" מפתות מאוד, מפני שכל משתתף חדש נדרש לגייס שני משקיעים בלבד כדי להגדיל את השקעתו פי שמונה (ומובן שכל אחד מן המגויסים החדשים נדרש גם הוא לגייס שניים אחרים, וכך הלאה). בהונאות פירמידה אחרות, שטוחות יותר, נדרש כל משתתף למאמץ גיוס גדול יותר כדי לקבל את אותם רווחים. במבנה התלול, הארבע־קומתי של "תן וקח" לא קיבל אף משתתף כסף במישרין מן ה"נוסעים" שגייס. מאחר שמגויסים חדשים נוטים להיות חברים או קרובי משפחה של "אנשי הצוות" שגייסו אותם, בשיטה הזאת הכסף אינו עובר לעולם בין מכרים. בזכות ההפרדה הזאת בין הנוסעים לטייסים שאת תשלומיהם הם מממנים, קל יותר לגייס משתתפים חדשים ופוחתת הסבירות לענישה, והדבר מגביר את קסמי ההשקעה ומקל על גיוסם של אלפי משקיעים חדשים.

משקיעים רבים בתוכנית הפירמידה "תן וקח" שמעו את סיפורי ההצלחה של משקיעים קודמים וביטחונם בהשקעה התחזק, ובכמה מקרים אפילו היו עדים בעצמם לתשלומים שכאלה. מארגנות התוכנית, פוקס וצ'למרס, ערכו מסיבות ראוותניות במלון "סומרסֶט" שהיה בבעלותה של צ'למרס. האורחים קיבלו עלונים ובהם תצלומיהם של משתתפי התוכנית שרועים על מיטות מכוסות שטרי כסף או מנופפים כלפי המצלמה בחבילות שטרות של 50 לירות. למסיבות האלה הוזמנו גם כמה מ"כלות" התוכנית — משתתפות (בעיקר נשים) שהועלו לדרגת טייסות ועמדו לקבל את תשלומיהן. הכלות היו נשאלות ארבע שאלות פשוטות, כגון "איזה חלק בגופו של פינוקיו גדל כשהוא משקר?" לפני קהלים של 200 או 300 משקיעים בכוח.

ה"חידונים" האלה נועדו לכאורה לנצל פרצה בחוק, ולפיה גרסו פוקס וצ'למרס שההשקעות שלהן מותרות אם מעורבת בכך איזו "יכולת". בסרטון של אירוע כזה שצולם בטלפון נייד אפשר לשמוע את פוקס צועקת, "אנחנו מהמרים בתוך הבתים שלנו, וזה מה שעושה את זה לחוקי." אבל היא טעתה. מַיילס בֶּנֶט, התובע בפרשת "תן וקח", הסביר ש"החידון היה קל כל כך עד שלא היו משתתפים שהגיע להם תשלום ולא קיבלו את כספם. המתמודדים אף יכלו להיעזר בחברים או בחברי הוועדה, ואלה ידעו את התשובות!"

כל זה לא מנע מפוקס וצ'למרס להיעזר במסיבות הפרס האלה כמין זריקות חיסון במערכת הפרסום הפשוטה והיעילה שלהן. למראה הכלות המקבלות צ'קים של 23,000 לירות סטרלינג היו רבים מן האורחים מבקשים להצטרף, ומעודדים את חבריהם ואת בני משפחתם לעשות כמוהם ולהרחיב את בסיס הפירמידה שמתחת להם. כל עוד יעביר כל משקיע חדש את המטה לשני משקיעים אחרים או יותר, תמשיך התוכנית להתרחב עד אין קץ. כשהחלו פוקס וצ'למרס את התוכנית באביב 2008 היו הן הטייסות היחידות. הן גייסו חברים להשקיע ואף לעזור בארגון, ועד מהרה גייסו 4 משקיעים. ה־4 האלה גייסו 8 אחרים ואלה גייסו 16 נוספים וכך הלאה. ההכפלה המעריכית של מספר החברים החדשים בהונאת פירמידה דומה מאוד להכפלת מספר התאים בכל שלב בהתפתחות העובר.

העובר המעריכי

כשהיתה אשתי בהיריון עם ילדנו הראשון היינו להוטים לדעת, כמו הורים לעתיד רבים אחרים, מה בדיוק מתרחש בבטנה של אשתי. שאלנו מכשיר אולטרסאונד כדי להאזין לפעימות לבו של התינוק שלנו; נרשמנו לבדיקות קליניות כדי לקבל סריקות נוספות, וקראנו עוד ועוד אתרי אינטרנט שתיארו מה קורה לבתנו כשהיא גדלה ומנפחת מדי יום ביומו את בטנה של אמהּ. החביבים עלינו ביותר היו אתרים מן הסוג "כמה גדול התינוק שלכם?", שהשוו בכל שבוע של ההיריון את העובר לפרי או לירק נפוץ או למאכל אחר כלשהו שדומה בגודלו לעובר. כדי להמחיש להורים את הרך שעדיין לא נולד היו האתרים האלה מודיעים ש"המלאך הקטן שלכם שוקל כ־46 גרם וגודלו כ־9 סנטימטרים, בערך כמו לימון," או "הלפת הקטנה והיקרה שלכם שוקלת עכשיו כ־155 גרם ואורכה בערך 13 סנטימטרים מכף רגל ועד ראש."

מה שהרשים אותי בהשוואות האלה של אתרי האינטרנט היה המהירות שבה גודל העובר משתנה משבוע לשבוע. בשבוע הרביעי העובר אינו עולה בגודלו על גרגיר פרג, אבל בשבוע החמישי הוא כבר תופח לגודלו של גרגיר שומשום! הצמיחה הזאת מייצגת גידול פי 16 בנפח העובר בתוך שבוע.

אבל הגידול המהיר הזה אולי אינו צריך להפתיע אותנו. אחרי שהזרע מפרה את הביצית, הביצית המופרית (הזיגוטה) עוברת שורה של חלוקות שנקראות "הַתלָמָה" (cleavage), ובמהלכן מספר התאים בעובר המתפתח גדל במהירות. תחילה הזיגוטה מתחלקת ל־2. שמונה שעות לאחר מכן שני התאים מתחלקים ל־4, וכעבור עוד שמונה שעות מספר התאים מגיע ל־8, ואחר כך ל־16 וכך הלאה — בדיוק כמו מספר המשקיעים בהונאת פירמידה. עוד חלוקות מתרחשות כמעט במדויק מדי שמונה שעות, וכך גדל קצב הגידול של התאים ביחס למספר התאים המרכיבים את העובר בכל שלב: ככל שמספר התאים גדל כן גדל מספר התאים הנוצרים בחלוקות שלאחר מכן. מאחר שכל תא יוצר בדיוק תא־בת אחד בכל חלוקה, גורם הגידול של מספר התאים בעובר הוא 2; במילים אחרות, גודל העובר מוכפל בכל דור.

אבל למרבה המזל, פרק הזמן שבו גדל עובר האדם גידול מעריכי במהלך ההיריון קצר יחסית. אילו הוסיף העובר לגדול בקצב המעריכי הזה בכל תקופת ההיריון, היו 840 אירועי ההתחלקות שלו יוצרים תינוק־על של10 בחזקת 253 תאים בקירוב. כדי להמחיש את המספר הזה נדמיין לנו שכל אטום ביקום הוא העתק של היקום עצמו; מספר תאיו של תינוק־העל שלנו קרוב למספר הכולל של האטומים בכל היקומים האלה יחד. מובן שקצב החלוקה מואט ככל שמתרחשים אירועים מורכבים יותר בחייו של העובר. בפועל, מספרם של התאים בגופו של תינוק ממוצע ברגע היוולדו צנוע הרבה יותר — כ־2 טריליון. המספר הזה יכול להיות מושג בפחות מ־41 אירועי חלוקה עוקבים.

משמיד העולמות

גידול מעריכי חיוני להשגת מספר התאים הנחוץ ליצירת חיים חדשים, אבל כוחו המדהים והמפחיד של הגידול המעריכי הוא שגרם לפיזיקאי הגרעין ג' רוברט אופנהיימר להכריז, "עכשיו אני המוות, משמיד העולמות." הגידול שאופנהיימר התכוון אליו לא היה חלוקה של תאים ולא התרבות של אורגניזמים אלא גידול של האנרגיה הנוצרת במהלך ביקוע גרעינֵי אטומים.

בשנות מלחמת העולם השנייה עמד אופנהיימר בראש מעבדת לוס אלאמוס, שם היה מרכזו של "פרויקט מנהטן", פיתוח פצצת האטום. את חלוקת הגרעין (צרור הדוק של פרוטונים ונֵיטרונים) של אטום כבד למרכיבים קטנים יותר, הגו כימאים גרמנים בשנת 1938, והתהליך כונה "ביקוע אטומי", מתוך אנלוגיה לחלוקת התא החי לשני תאים, כמו שמתרחש ביעילות גדולה כל כך בעובר מתפתח.7 הביקוע יכול להתרחש מעצמו, כמו בעת דעיכה רדיואקטיבית של איזוטופים כימיים לא יציבים, או באופן מלאכותי, אם מפציצים את גרעין האטום בחלקיקים תת־אטומיים במה שנקרא "תגובה גרעינית". בכל מקרה, בעת ביקוע הגרעין לשני מרכיבים קטנים יותר — "תוצרי הביקוע" — משתחררת כמות גדולה של אנרגיה בצורת קרינה אלקטרומגנטית, ואליה מתלווה האנרגיה הקינטית הקשורה בתנועתם של תוצרי הביקוע. עד מהרה התברר שתוצרי הביקוע הנעים האלה, שנוצרים במהלך התגובה הגרעינית, יכולים לפגוע בגרעינים אחרים, לבקע אותם ולשחרר עוד אנרגיה — כך נוצרת "תגובת שרשרת". אם כל ביקוע של גרעין מייצר, בממוצע, יותר מתוצר אחד שיכול לשמש לביקוע גרעינים אחרים, כי אז, להלכה, יגרום כל ביקוע לביקועים מרובים אחרים; ואם יימשך התהליך הזה, עשוי מספר אירועי הביקוע לגדול גידול מעריכי ולהפיק אנרגיה בכמויות חסרות תקדים. אם יימצא חומר שיניח לתגובת שרשרת גרעינית לא מבוקרת שכזאת לקרות, כי אז הגידול המעריכי באנרגיה, הנפלטת בתוך הזמן הקצר שבו מתרחשת תגובת השרשרת, יכול להביא לידי שימוש בחומר בר־ביקוע שכזה בתור נשק.

באפריל 1939, ערב פרוץ המלחמה באירופה, התגלתה תגלית מכרעת. הפיזיקאי הצרפתי פרדריק ז'וֹליוֹ־קירי (חתנם של מארי ופייר קירי, וגם הוא חתן פרס נובל יחד עם אשתו) פרסם בירחון נייצ'ר ראיות לכך שבעת ביקוע בידי ניטרון יחיד, אטומים של איזוטופ אורניום U-235 פולטים בממוצע 3.5 (המספר תוקן אחר כך ל־2.5) ניטרונים טעונים באנרגיה גבוהה.8 אלה היו תוצרי הביקוע שנדרשו כדי להניע ולהזין תגובת שרשרת מעריכית של ביקועים נוספים. ה"מרוץ אל הפצצה" החל.

בזמן שחתן פרס נובל וֶרנר הַייזנברג ומדענים גרמנים נודעים אחרים עסקו במיזם מקביל, לבניית פצצה גרעינית בגרמניה הנאצית, ידע אופנהיימר שמשימה קשה מוטלת על כתפיו בלוס אלאמוס. האתגר העיקרי שלו היה ליצור תנאים שיאפשרו תגובת שרשרת גרעינית מעריכית, שתשחרר כמעט בבת אחת את כמות האנרגיה האדירה הדרושה לפיצוץ אטומי. כדי להניע תגובת שרשרת מהירה שמזינה את עצמה, היה עליו להבטיח שמספיק מן הניטרונים הנפלטים בעת ביקוע אטום של אורניום U-235 יפגעו בגרעינים אחרים של אטומי U-235 ויבקעו אותם. התברר שבאורניום טבעי, חלק גדול מדי מן הניטרונים הנפלטים נספג באטומי U-238 (איזוטופ אחר, שמהווה 99.3 אחוזים מעפרות האורניום בטבע),9 ולכן כל תגובת שרשרת תדעך מיד ולא תגדל גידול מעריכי. כדי להפיק תגובת שרשרת מעריכית גדלה היה על אופנהיימר לזקק אורניום U-235 טהור מאוד ("מועשר"), ולסלק מן העפרה כמות גדולה ככל האפשר של האיזוטופ האחר, U-238.

כל השיקולים האלה הולידו את המושג "מסה קריטית" של חומר בקיע — כמות החומר הדרושה כדי ליצור תגובת שרשרת גרעינית שמזינה את עצמה. המסה הקריטית תלויה בכמה גורמים, ואולי החשוב שבהם הוא מידת הטוהר של U-235 — אפילו בריכוז של 20 אחוזים (לעומת הריכוז הטבעי, שהוא 0.7 אחוז), המסה הקריטית עולה על 400 קילוגרמים. גם אחרי שהצליח להעשיר כמות מספקת של אורניום ולהשיג מסה קריטית, עדיין עמדה לפני אופנהיימר שאלת העברת הפצצה עצמה. הוא לא יכול כמובן לדחוס מסה קריטית של אורניום בתוך פצצה ולקוות שזו לא תתפוצץ; די בדעיכה טבעית של אטום יחיד כדי להפעיל את תגובת השרשרת ולהביא לידי פיצוץ מעריכי.

אופנהיימר ואנשיו פעלו בלחץ הידיעה שגם הנאצים מפתחים נשק אטומי, ומצאו פתרון חפוז לסוגיית העברת הפצצה. הרעיון היה "לירות" באמצעות חומרי נפץ קונבנציונליים מסה תת־קריטית אחת של אורניום לתוך אחרת, ואלה יחד יעמידו מסה על־קריטית. באותו רגע תופעל תגובת השרשרת על ידי מאורע ביקוע טבעי, שממנו ייפלטו עוד ניוטרונים. הפרדת חומר הביקוע לשתי מסות תת־קריטיות תבטיח שהפצצה לא תתפוצץ קודם זמנה. דרגת ההעשרה הגבוהה של האורניום שהושגה (למעלה מ־80 אחוזים) פירושה שכדי להגיע למסה הקריטית נדרשו 25-20 קילוגרמים בלבד. אבל אופנהיימר לא יכול להסתכן בכישלון המיזם שלו, שיקנה יתרון ליריביו הגרמנים, ודרש כמויות גדולות הרבה יותר.

בסופו של דבר, עד שהושגה הכמות הנדרשת של אורניום מועשר כבר הסתיימה המלחמה באירופה. אבל באוקיינוס השקט עדיין ניטשו הקרבות במלוא עוזם, ויפן לא הראתה שום סימן שהיא מתכוונת להיכנע, למרות מצבה הצבאי הקשה. משהתברר שפלישה ליפן תגדיל מאוד את אבדות האמריקנים, שכבר היו רבות ממילא, הורה הגנרל לֶסלי גרובס, מנהל פרויקט מנהטן, להטיל על יפן פצצת אטום ברגע שתנאי מזג האוויר יאפשרו זאת.

ב־6 באוגוסט 1945, אחרי ימים אחדים של מזג אוויר גרוע בשל סופת טייפון שהשתוללה מעל יפן, זרחה השמש בשמיה הבהירים של הירושימה. בשעה 7:09 בבוקר נצפה מטוס אמריקני מעל הירושימה, ובכל רחבי העיר נשמעה צפירת אזעקה רמה. אַקיקוֹ טַקאקוּרה, בת שבע־עשרה, החלה לעבוד בתור פקידה בבנק זמן מה לפני כן. כשנשמעה האזעקה היתה בדרכה לעבודה, והיא ונוסעים אחרים בתחבורה הציבורית ירדו לאחד המקלטים הציבוריים שנבנו בעיר נגד התקפות מן האוויר.

התקפות מן האוויר לא היו נדירות בהירושימה; העיר היתה בסיס אסטרטגי וצבאי חשוב, ובה שכן מטה הארמייה הכללית השנייה של יפן. אבל עד אז לא נפגעה העיר מפצצות התבערה שהוטלו על ערים רבות אחרות ביפן. אקיקו ובני עירה לא העלו על דעתם שהירושימה לא הופצצה קשות בכוונה תחילה, כדי שהאמריקנים יוכלו לאמוד ביתר דיוק את ההרס שיחולל הנשק החדש שלהם.

בשעה 7:30 נשמעה צפירת הארגעה. מטוס B-29 שחלף מעל לעיר בדק את מזג האוויר, ולא היה מסוכן ביותר. אקיקו יצאה מן המקלט, יחד עם רבים אחרים, ופלטה אנחת רווחה; כנראה לא תהיה עוד התקפה באותו בוקר.

אבל לא היא ולא תושבי העיר האחרים, שהמשיכו בדרכם למקומות עבודתם, לא ידעו שהמטוס דיווח על שמים בהירים מעל הירושימה למטוס אחר, "אֶנולה גֵיי" שמו, שנשא את פצצת הביקוע הידועה בכינוי "ילד קטן". ובשעה שילדים הלכו לבתי הספר ועובדים המשיכו בשגרת יומם במשרדים ובבתי חרושת הגיעה גם אקיקו אל הבנק שעבדה בו במרכז הירושימה. המנקות היו אמורות להגיע חצי שעה לפני העובדים כדי לנקות את משרדיהם ולהכינם ליום העבודה שעמד להתחיל, ובשעה 8:10 כבר היתה אקיקו שקועה בעבודתה בתוך הבניין, שעדיין היה כמעט ריק מאדם.

בשעה 8:14 ראה הקולונל פול טיפֶּטס, מפקד "אנולה גיי", את צורת ה־T של גשר אַייאוֹי בדיוק במרכז הכוונת שלו. "ילד קטן", שמשקלה 4,400 קילוגרמים, הוטלה והחלה ליפול לעבר הירושימה מגובה תשעה קילומטרים וחצי בקירוב. לאחר כ־45 שניות של נפילה חופשית, כשהיתה כ־600 מטרים מעל לקרקע, הופעלה הפצצה; מסה תת־קריטית אחת של אורניום נורתה לתוך מסה תת־קריטית אחרת ויצרה מסה על־קריטית אחת מוכנה לפיצוץ. כמעט מיד אירע ביקוע ספונטני של אטום אחד לפחות וניטרונים השתחררו ופגעו בגרעיני U-235 אחרים. התהליך הואץ במהירות והביא לידי תגובת שרשרת שגדלה גידול מעריכי, ולשחרור כמות עצומה של אנרגיה.

אקיקו ניגבה את לוח השולחן של אחד מעמיתיה כשראתה מבעד לחלון הבהק לבן זוהר, כמו של מגנזיום בוער. היא לא יכלה לדעת שבשל הגידול המעריכי פלטה הפצצה אנרגיה השקולה ל־30 מיליון מקלות דינמיט בבת אחת. בנקודת הפיצוץ הגיעה הטמפרטורה לכמה מיליוני מעלות — יותר מן הטמפרטורה על פני השמש. עשירית שנייה לאחר מכן הגיעה אל הקרקע אנרגיה מיַינֶנת שחוללה נזק רדיולוגי הרסני לכל יצור חי שנחשף לה. שנייה לאחר מכן תפח מעל לעיר כדור אש שקוטרו 300 מטרים, וחומו כמה אלפי מעלות צלזיוס. עדי ראייה סיפרו שנדמָה להם שהשמש זורחת מעל הירושימה בפעם השנייה באותו היום. גל ההדף נע במהירות הקול והחריב בניינים בכל רחבי העיר. אקיקו הוטלה בחבטה אל הקיר ואיבדה את הכרתה. קרינה אינפרה־אדומה גרמה כוויות בעור חשוף קילומטרים רבים מסביב. בני אדם שהיו קרובים למרכז הפיצוץ התאדו מיד או התפחמו כליל.

בניין הבנק החסין מפני רעידות אדמה הגן על אקיקו מפני פגיעתה הגרועה ביותר של הפצצה. כשחזרה אליה הכרתה יצאה בהילוך כושל אל הרחוב. שמי הבוקר הכחולים הבהירים נעלמו. השמש שזרחה בפעם השנייה מעל הירושימה כבתה באותה מהירות שזרחה. הרחובות היו אפלים ומלאים אבק ועשן. גופות היו מוטלות בכל מקום, לכל מלוא העין. אקיקו היתה הניצולה הקרובה ביותר — 250 מטרים בלבד — אל הפיצוץ המעריכי הנורא.

בפיצוץ ובסופת האש שהתפשטה בעקבותיו ברחבי העיר נספו לפי האומדנים כ־70,000 בני אדם, 50,000 מהם אזרחים. רוב בתי העיר נחרבו לחלוטין. הרהוריו הנבואיים של אופנהיימר התגשמו. הצידוקים להפצצתה של הירושימה, וימים אחדים לאחר מכן של נגסאקי, כדי להביא לידי סיום את מלחמת העולם השנייה, עודם שנויים במחלוקת עד היום.

האופציה הגרעינית

יהיו מה שיהיו נקודות הזכות והחובה של הפצצה האטומית עצמה, שיפור ההבנה של תגובות השרשרת המעריכיות המתרחשות בעת ביקוע גרעיני, שהושג במהלך פרויקט מנהטן, העניק לנו את הטכנולוגיה הדרושה להפקת אנרגיה נקייה, בטוחה, דלת פחמן, באמצעות כורים גרעיניים. מקילוגרם אחד של אורניום U-235 אפשר להפיק אנרגיה רבה פי 3 מיליון בקירוב משאפשר להפיק משריפת אותה כמות של פחם.10 אבל לאנרגיה האטומית יצא שם רע מבחינת בטיחותה ונזקיה הסביבתיים, למרות ההוכחות המראות את ההפך מזה. במידת מה אפשר להאשים גם בכך את הגידול המעריכי.

ב־25 באפריל 1986 בשעת ערב, בא אלכסנדר אַקימוב לעבודה במשמרת הלילה בתחנת הכוח. שעות אחדות לאחר מכן היה אמור להתחיל ניסוי בטיחות של משאבות הקירור. כשהורה אקימוב להתחיל בניסוי בוודאי היה אפשר לסלוח לו אם הרהר בינו לבינו שמזלו שפר עליו; בימים שברית המועצות החלה להתפורר ו־20 אחוזים מתושביה חיו בעוני, היתה לו משרה בטוחה, בתור מנהל משמרת בתחנת הכוח הגרעינית בצֶ'רנובּיל.

בערך בשעה אחת־עשרה בלילה הורה אקימוב להחדיר כמה מוטות בקרה אל בין מוטות דלק האורניום שבתוך ליבת הכור, כדי לצמצם את תפוקתו, לצורך הניסוי, לכדי 20 אחוזים מן התפוקה הרגילה. מוטות הבקרה סופגים חלק מן הניטרונים המשתחררים בתהליך הביקוע האטומי, כדי שאלה לא יבקעו אטומים אחרים רבים מדי, וכך המוטות משמשים לבלימת התהליך המהיר של תגובת השרשרת, שבפצצה גרעינית מניחים לו לצמוח צמיחה מעריכית לא מבוקרת. אבל אקימוב טעה והחדיר לליבה מספר גדול מדי של מוטות בקרה, ובשל כך צנחה תפוקת הכור במידה ניכרת. הוא ידע שהדבר עלול להביא לידי "הרעלת" הכור — בכור מואט נוצר קסֶנון, חומר שבולם עוד יותר את התהליך ומצנן את הכור, מה שמביא לידי היווצרותו של עוד קסנון וחוזר חלילה. בשלב הזה נתקף אקימוב בהלה והורה לבטל את מנגנון הבטיחות ולהעביר יותר מ־90 אחוזים ממוטות הבקרה לפיקוח ידני, ולהוציא אותם מתוך הליבה כדי למנוע את כיבויו המוחלט של הכור.

אקימוב בוודאי פלט אנחת רווחה כשראה את מד התפוקה עולה אט־אט. עכשיו שהמשבר נמנע החליט אקימוב לעבור לשלב הבא בניסוי ולכבות את המשאבות. אבל הוא לא ידע שמערכות הגיבוי אינן מזרימות מי קירור במהירות הראויה. מי הקירור החלו להתאדות בהדרגה, וחדלו למלא את תפקידם בקליטת ניטרונים עודפים ובהפחתת חומו של הכור. החום המוגבר והתפוקה הגדלה והולכת הפכו עוד ועוד מים רותחים לקיטור והאיצו את תפוקת החשמל: עוד לולאה חיובית של היזון חוזר, קטלנית עוד יותר. מוטות הבקרה המעטים שלא היו בפיקוחו הידני של אקימוב הוחזרו אוטומטית אל תוך הכור, בניסיון להשתלט על החום הגובר, אבל לא היה בהם די. כשנוכח אקימוב לדעת שתפוקת החשמל גדלה מהר מדי, לחץ על כפתור החירום, שהיה אמור לשוב ולהחדיר אל הליבה את כל מוטות הבקרה ולבלום את פעולתו, אבל הוא איחר את המועד. כשצללו המוטות אל תוך הליבה הם חוללו עלייה קצרה ותלולה בתפוקה וחומו של הכור עלה מאוד. מקצת ממוטות הדלק נפגעו ומנעו את חדירתם של מוטות הבקרה. עכשיו עלתה אנרגיית החום עלייה מעריכית, תפוקת החשמל הוכפלה פי 10 מרמת התפוקה הרגילה של הכור, ומי הקירור התאדו לקיטור וחוללו שני פיצוצי לחץ גדולים. כיפת הכור נפרצה, הליבה נהרסה וחומר רדיואקטיבי בקיע הועף למרחקים גדולים.

אקימוב סירב להאמין לדיווח על התפוצצות הליבה, ומסר מידע שקרי על מצבו של הכור, ובכך עיכב את מאמצי ההכלה החיוניים. כשהתבררה לו לבסוף מידת ההרס האמיתית נחלץ עם צוותו, בלי הגנה ראויה, לשאוב מים אל תוך הכור ההרוס. אנשי הצוות ספגו מנות קרינה של 200 גרֵיי בשעה. מאחר שמנה קטלנית אופיינית היא 10 גריי בשעה, עולה שאנשי הצוות ספגו קרינה קטלנית כבר אחרי פחות מחמש דקות. אקימוב מת שבועיים לאחר התאונה, מהרעלת קרינה חריפה.

לפי הגרסה הרשמית של השלטונות הסובייטיים עמד מספר ההרוגים הרשמי באסון צ'רנוביל על 31 בני אדם בלבד, אבל לפי הערכות אחרות, מספר הנפגעים, ובכללם מי שהיו מעורבים במבצעי הטיהור הנרחבים, גדול הרבה יותר. במניין הזה לא נכללו המיתות שאירעו בקרב התושבים שגרו בסביבות תחנת הכוח, בגלל התפשטותם של חומרים רדיואקטיביים. האש שניצתה בכור ההרוס בערה תשעה ימים תמימים ופלטה אל האטמוספרה חומרים רדיואקטיביים בכמות גדולה פי כמה מאות מכמות החומר הרדיואקטיבי שנפלט בהפצצת הירושימה. נזקים סביבתיים נרחבים אירעו כמעט בכל רחבי אירופה.11

ב־2 במאי 1986, לדוגמה, הצליפו גשמים עזים מן הרגיל בעונה בהַיילנדס של סקוטלנד. טיפות הגשם נשאו איתן חומרים רדיואקטיביים מן הנשורת של הפיצוץ בצ'רנוביל — סטרוֹנציוּם־90, צֶסיוּם־137 ויוד־131. בסך הכול ספגה בריטניה כאחוז אחד מן הקרינה שנפלטה מן הכור בצ'רנוביל. האיזוטופים הרדיואקטיביים האלה נספגו בקרקע, חדרו אל עלי העשב, והכבשים שרעו ברמות סקוטלנד אכלו אותם. התוצאה — בשר רדיואקטיבי.

משרד החקלאות של בריטניה מיהר להטיל פיקוח על מכירתן והעברתן של כבשים באזורים הנגועים; כמעט 9,000 חוואים ויותר מ־4 מיליון כבשים הושפעו מכך. דייוויד אֶלווּד, מגדל כבשים מלֵייק דיסטריקט, התקשה להאמין במה שקורה. הענן שנשא את האיזוטופים הרדיואקטיביים הסמויים מן העין, שכמעט אי־אפשר לגלותם, הטיל צל כבד על פרנסתו. בכל פעם שביקש למכור כבשים היה עליו לבודד אותן ולהזמין מפקח מטעם הממשלה לבדוק את רמת הרדיואקטיביות שלהן. בכל פעם שבאו היו המפקחים אומרים לו שהפיקוח יבוטל בתוך שנה בקירוב. אלווד חי בצל הענן הזה למעלה מ־25 שנים, עד שתקנות הפיקוח בוטלו לבסוף ב־2012.

אבל היתה לממשלה דרך קלה הרבה יותר להודיע לאלווד ולחוואים אחרים מתי תרד רמת הרדיואקטיביות לדרגה שתאפשר מכירת כבשים בלי פיקוח. דרגות הקרינה צפויות להפליא, הודות לתופעה ששמה "דעיכה מעריכית".

מדע התיארוך

בדעיכה מעריכית, באנלוגיה ישירה לגידול מעריכי, מדובר על ערך יורד, שקצב הירידה שלו יחסי לגודלו הקיים, כלומר בכל שלב הערך קטֵן כמכפלה של הערך הקיים (זכרו את הירידה במספר הסוכריות מדי יום ביומו ובעקומת מגלשת המים שמתארת אותו). דעיכה מעריכית מתארת תופעות מגוונות מאוד, למן הירידה בכמותה של תרופה בגוף12 ועד היעלמות שכבת הקצף שעל פני הבירה.13 בייחוד היא מיטיבה לתאר את הקצב שבו קטנה עם הזמן דרגת הקרינה של חומר רדיואקטיבי.14

אטומים לא יציבים של חומרים רדיואקטיביים פולטים אנרגיה בצורת קרינה, גם בלי התערבותו של גורם חיצוני, בתהליך שנקרא "דעיכה רדיואקטיבית". כשמדובר באטום יחיד, תהליך הדעיכה אקראי — לפי תורת הקוואנטים אי־אפשר לחזות מתי ידעך אטום מסוים — אבל במסה של חומר שיש בו מספר עצום של אטומים, הדעיכה הרדיואקטיבית היא תהליך מעריכי צפוי. מספר האטומים קטֵן בקצב יחסי למספר האטומים הנותרים. כל אטום דועך בלי תלות באטומים האחרים. את קצב הדעיכה של חומר רדיואקטיבי מבטאים בגודל שנקרא "זמן מחצית החיים" — הזמן שנדרש למחצית מן האטומים הלא־יציבים לדעוך. מאחר שהדעיכה היא מעריכית, אין זה משנה כמה חומר רדיואקטיבי קיים מלכתחילה; הזמן שבו תפחת הרדיואקטיביות שלו במחצית קבוע תמיד. כשמדובר בסוכריות M&M, שאנו שופכים על השולחן מדי יום ביומו ואוכלים את הסוכריות שבהן ה־M מופנה כלפי מעלה, זמן מחצית החיים הוא יום אחד — הצפי הוא שבכל יום נאכל כמחצית מן הסוכריות ששפכנו מן השקית.

תופעת הדעיכה המעריכית של אטומים רדיואקטיביים היא הבסיס לשיטת התיארוך הרדיומטרי, שבה מתארכים חומרים לפי דרגת הרדיואקטיביות שלהם. כדי לקבוע את גילו של חומר שפולט קרינה אטומית אפשר לחשב אותו לפי היחס שבין מספר האטומים הרדיואקטיביים למספר האטומים של תוצרי הדעיכה הידועים שלו. לתיארוך הרדיומטרי שימושים ידועים רבים, ובהם אומדן גילו של כדור הארץ ותיארוכם של ממצאים עתיקים כגון מגילות ים המלח.15 אם תהיתם איך לעזאזל ידעו החוקרים שהעוף הקדמון אַרכיאוֹפּטֶריקס חי לפני 150 מיליון שנים,16 או שאיש הקרח אֶצי מת לפני 5,300 שנים,17 קרוב לוודאי שתיארוך רדיומטרי היה מעורב בכך.

לאחרונה פותחו שיטות מדידה מדויקות יותר שאפשרו תיארוך רדיומטרי ב"ארכיאולוגיה משפטית" — השימוש בדעיכה מעריכית של איזוטופים רדיואקטיביים (ועוד שיטות ארכיאולוגיות אחרות) בפענוח מעשי פשע. בנובמבר 2017 נעשה שימוש בתיארוך פחמן־14 כדי להוכיח ש"הוויסקי היקר ביותר בעולם" אינו אלא הונאה. על תווית הבקבוק נאמר שתוכנו הוא ויסקי "סינגל מאלט" בן 130 שנים מתוצרת "מקאלאן", אבל התברר שמדובר בתערובת זולה משנות השבעים של המאה העשרים, למרבה אכזבתם של בעלי בית המלון בשווייץ, שמכרו כל כוסית ממנו ב־10,000 דולרים. בדצמבר 2018 הודיעה אותה מעבדה שלמעלה משליש מסוגי הוויסקי הסקוטי המשובח לכאורה שבדקה הם זיופים. אבל פרסומו הרב ביותר של התיארוך הרדיומטרי נובע משימושיו לצורך קביעת גילן של יצירות אמנות.

* * *

עד מלחמת העולם השנייה היו ידועים רק 35 ציורים של האמן ההולנדי הדגול יוהנס וֶרמֶֶר. ב־1937 התגלתה בצרפת יצירה חדשה של וֶרמֶר, "ארוחת הערב באֶמָאוס", ומבקרי אמנות העלו אותה על נס בתור אחת מיצירותיו הגדולות ביותר של האמן. מוזיאון "בּוימאנס ואן בֵּינינכֶן" ברוטרדם מיהר לרכוש אותה, בכסף רב. בשנים שלאחר מכן צצו עוד כמה ציורים של ורמֶר שלא היו ידועים עד אז, וגם אותם קנו הולנדים עשירים שביקשו למנוע את נפילתם של נכסי תרבות חשובים בידי הנאצים. אחת היצירות האלה, "ישו עם הנואפת", הגיעה בכל זאת לידיו של הרמן גרינג, יורשו המיועד של היטלר.

אחרי המלחמה התגלה הציור האבוד במכרה מלח באוסטריה, יחד עם יצירות אמנות רבות ששדדו הנאצים, ואז הוחל בבדיקה מקפת כדי לגלות מי מכר אותן. עקבות הציור של ורמר הובילו לבסוף אל האן ואן מֶכֶרֶן, אמן כושל שמבקרים רבים קטלו את יצירותיו בטענה שהן מחקות את ציוריהם של אמני העבר הדגולים. אין פלא אפוא שלאחר מעצרו היה ואן מכרן שנוא למדי על הציבור הולנדי. לא זו בלבד שנחשד במכירת נכסי תרבות לנאצים — עבירה שעונשה מוות — אלא אף קיבל סכומי עתק תמורתם וחי חיי שפע באמסטרדם בימי המלחמה, כשרבים מבני עירו גוועו ברעב. במאמץ נואש להציל את נפשו טען ואן מכרן שהציור שמכר לגרינג אינו היצירה המקורית אלא זיוף שלו עצמו. הוא אף הודה בזיוף הציורים החדשים של וֶרמֶֶר, וגם של פראנס האלס ופיטר דה הוֹך, שהתגלו זמן לא רב לפני כן.

ועדה מיוחדת שהוקמה כדי לבדוק את הזיופים קיבלה את טענותיו של ואן מכרן, בין השאר בזכות זיוף חדש, "ישו והרופאים", שהוועדה הטילה עליו לצייר בכלא. עד שהחל משפטו כבר היה ואן מכרן גיבור לאומי, אדם שהצליח לשטות במבקרי האמנות המתנשאים שקטלו את יצירותיו, והוליך שולל את בכירי הנאצים ומכר להם זיוף חסר ערך. הוא זוכה מאשמת שיתוף פעולה עם הנאצים ונידון לשנת מאסר אחת בלבד בעוון זיוף ומרמה, אבל מת בהתקף לב קודם שהחל לרצות את עונשו. ואולם, למרות פסק הדין עדיין היו רבים (בייחוד מי שקנו את ציורי וֶרמֶר שלו) שקראו תיגר על הפסיקה והוסיפו לטעון שהציורים אמיתיים.

ב־1967 נבדק הציור "ארוחת ערב באמאוס" באמצעות תיארוך רדיומטרי של עופרת־210.18 למרות מלאכת הזיוף הקפדנית של ואן מכרן, שהשתמש בחומרים רבים שוֶורמֶֶר נהג להשתמש בהם, לא היתה לו שליטה בדרך שבה נוצרו החומרים האלה. הוא צייר על בדים אמיתיים מן המאה השבע־עשרה וערבב את צבעיו לפי נוסחאות מקוריות של התקופה, אבל העופרת ששימשה אותו להכנת הצבע הלבן זוקקה מן העפרה זמן לא רב לפני כן. העופרת המצויה בטבע מכילה את האיזוטופ הרדיואקטיבי עופרת־210 ואת יסוד האֵם הרדיואקטיבי (שממנו העופרת נוצרת בתהליך הדעיכה) רדיום־226. כשמזקקים את העופרת מן העפרה נעלם רוב הרדיום־226 ונותרת רק כמות מזערית ממנו, ולכן יש בעופרת המזוקקת כמות קטנה יחסית של עופרת־210 חדשה שנוצרת ממנו. אם מודדים את ריכוז העופרת־210 והרדיום־226 בחומר הנבדק — הצבע הלבן בציור — אפשר לחשב את גילו בדייקנות, לפי העובדה שהרדיואקטיביות של העופרת דועכת דעיכה מעריכית ויש לה זמן מחצית חיים ידוע. בציור "ארוחת ערב באמאוס" אכן נמצא שריכוז העופרת־210 גבוה הרבה יותר משהיה אילו צויר 300 שנים לפני כן. כך נקבע בוודאות שציוריו של ואן מכרן לא צוירו בידי ורמר במאה השבע־עשרה, מפני שהעופרת שוואן מכרן השתמש בה לצבעיו עדיין לא נכרתה אז.

שפַּעת דלי הקרח

אילו חי ואן מכרן בימינו בוודאי היו יצירותיו מופצות באינטרנט, תחת כותרת קליטה ומפתה כגון "תשעה ציורים שבחיים לא הייתם מאמינים שאינם הדבר האמיתי". זיופים בני ימינו — כמו התצלום של המועמד המולטי־מיליונר לנשיאות מיט רוֹמני מסדר בשורה שישה ילדים שעל כל אחת מחולצותיהם מודפסת אות, בסדר לא נכון שמציג את שמו RMONEY במקום ROMNEY, או תצלום הפוטושופ של התייר שכביכול הצטלם למזכרת על גג התצפית של המגדל הדרומי של מרכז הסחר העולמי ולא שם לב למטוס המנמיך טוס המתקרב אליו ברקע — זכו לחשיפה כלל־עולמית, שהיא חלומם של אנשי שיווק ויראלי באשר הם.

שיווק ויראלי (או "שיווק פל"א", כלומר "שיווק פה לאוזן") הוא טכניקה שבה מטרות פרסום מושגות באמצעות תהליך שכפול עצמי, דומה לתהליך התפשטותה של מחלה מידבקת (שאת המתמטיקה שלה נסקור ביתר עמקות בפרק 7). אדם אחד ברשת "מדביק" אחרים, ואלה מדביקים עוד ועוד בני אדם. כל עוד כל אדם שנדבק מדביק לפחות אדם אחד, המסר הוויראלי יתפשט במתכונת מעריכית. שיווק ויראלי הוא תחום משנה של מה שנקרא מֶמֶטיקה, חקר הדרכים שבהן "מֶם" (meme) — אופנה, אורח התנהגות או רעיון — מתפשט בקרב בני אדם באמצעות רשת חברתית, בדיוק כמו נגיף. ריצ'רד דוקינס טבע את המונח "מֶם" בספרו הגֶן האנוכיי משנת 1976, כדי להסביר את דרכי ההתפשטות של מידע תרבותי. הוא הגדיר מֶמים בתור יחידות של מסר תרבותי, מתוך אנלוגיה לגֶנים, יחידות המסר התורשתי, וטען שגם מֶמים מסוגלים להשתכפל ולעבור מוטציות. הדוגמאות של דוקינס למֶמים הן נעימות מוזיקליות, אמרות כנף, ודוגמה שמלמדת על התקופה שבה נכתב הספר — שיטות לייצור כדים או לבניית קשתות אבן. מובן שב־1976 לא הכיר דוקינס את האינטרנט במתכונתו הנוכחית, שמאפשרת את התפשטותם של מֶמים שלא היו עולים על הדעת בעבר (ורבים סבורים שהם חסרי טעם), כגון "השמלה" (#thedress), Rickrolling ותמונות משעשעות של חתולים (LOLcats).19

אחת הדוגמאות המצליחות ביותר, ואולי המקוריות ביותר, למערכת שיווק ויראלי היתה "אתגר דלי הקרח" (ALS ice bucket). הדבר הלוהט ביותר לעשותו בקיץ של 2014 בחצי הכדור הצפוני היה להצטלם כשדלי מי קרח נשפך על ראשכם, ואחר כך לקרוא לאחרים לעשות זאת, ובתוך כך אולי גם לתרום לצדקה. אפילו אני נדבקתי בחיידק.

אחרי שנעניתי לאתגר והייתי ספוג מים מכף רגל ועד ראש, נהגתי לפי המתכונת הקלאסית של השיווק הוויראלי וקראתי לשני אנשים אחרים לעשות כמוני, והעליתי את הסרטון לרשת החברתית. כמו הניטרונים בליבת כור אטומי, די באדם אחד שימשיך באתגר על כל סרטון שהועלה לרשת כדי שהמֶם יקיים את עצמו ויחולל תגובת שרשרת מעריכית גדלה.

בגרסאות אחרות של האתגר עמדו לפני הנקראים לדגל שתי אפשרויות: לקבל את האתגר ולתרום סכום קטן לעמותת אֵיי־אֶל־אֶס או לארגון צדקה אחר לפי בחירתם, או להשתמט מן האתגר ולתרום בתור פיצוי סכום גבוה הרבה יותר. הדרישה לתרום לצדקה נועדה להגביר את הלחץ על המשתתפים במֶם, מפני שבני אדם מרגישים סיפוק כשהם מגבירים את המודעות ומחזקים את הדימוי החיובי שלהם בתור נדבנים. הצד הזה של טיפוח האגו סייע לוויראליות של המֶם. בתחילת ספטמבר 2014 הודיעה עמותת איי־אל־אס שבאתגר דלי הקרח גויסו למעלה מ־100 מיליון דולרים שתרמו יותר מ־3 מיליון בני אדם. בזכות הסכום הזה גילו חוקרי המחלה עוד גן שגורם לה, והראו בכך עד כמה מרחיקת לכת יכולה להיות השפעתה של מערכת שיווק ויראלית.20

אתגר דלי הקרח, כמוהו ככמה נגיפים מידבקים מאוד כדוגמת שפעת, היה גם הוא עונתי מאוד (קצב ההתפשטות משתנה במהלך השנה, תופעה חשובה שעוד נשוב אליה בפרק 7). כשהתקרב הסתיו ומזג אוויר קר יותר השתרר בחצי הכדור הצפוני, נדמָה פתאום שדלי מי קרח על הראש אינו רעיון משעשע כל כך, אפילו למען מטרה טובה. בספטמבר 2014 כבר גוועה האופנה כמעט לחלוטין, אבל בדיוק כמו שפעת היא שבה והופיעה במתכונת דומה בקיץ שלאחר מכן, ושוב בקיץ שלאחריו — אבל אז כבר היתה האוכלוסייה רוויה במידה רבה; ב־2015 גייס אתגר הדלי פחות מאחוז אחד מן הסכום שגייס ב־2014. דומה שמי שנחשפו לנגיף ב־2014 נעשו מחוסנים מפניו, ואפילו מפני גרסאות מוטנטיות שלו (למשל של חומרים אחרים בדלי). בגלל האדישות המחסנת גוועה כל התפרצות נוספת בעודה באִבּה, שכן המשתתפים לא הצליחו — בממוצע — לשכנע אפילו אדם אחד להמשיך בכך.

האם העתיד מעריכי?

יש חידה על גידול מעריכי שחדים לילדים צרפתים כדי להדגים את הסכנות שבדַחיינות. יום אחד הבחינו התושבים שמושבת אצות קטנטנה הופיעה במי האגם המקומי. בימים שלאחר מכן התברר שמדי יום ביומו המושבה מכסה שטח כפול משטחה הקודם. אם לא ייעשה משהו כדי לבלום אותה היא תוסיף לצמוח, עד שבתוך 60 ימים תכסה את האגם כולו ותרעיל את מימיו. מכיוון ששטח הפנים של המושבה בתחילתה קטן כל כך והסכנה אינה מוחשית, התושבים מחליטים להניח לה לצמוח עד שתכסה מחצית משטח האגם, ואז יהיה קל יותר לסלקה. והשאלה היא, "בתוך כמה ימים תכסה האצה את מחצית שטח האגם?"

תשובה נפוצה, שרבים משיבים בלי מחשבה רבה, היא בתוך 30 ימים. אבל מאחר ששטח מושבת האצות מוכפל מדי יום ביומו, אם ביום מסוים חצי מן האגם מכוסה באצות, הרי שלמחרת היום הוא יהיה מכוסה לחלוטין. התשובה הנכונה, המפתיעה במקצת, היא שהאצות יכסו מחצית משטח האגם ביום ה־59, ואז יישאר יום אחד בלבד להציל את האגם. ביום ה־30 תכסה האצה פחות ממיליארדית משטח האגם. אילו הייתם תא אצה באגם ההוא, מתי הייתם נוכחים לדעת שאין לכם עוד מקום להתפשט? בלי להבין את משמעות הגידול המעריכי, אילו אמר לכם מישהו ביום ה־55 — כשרק 3 אחוזים משטח האגם מכוסים באצה — שבתוך 5 ימים תכסה האצה את האגם כולו, האם הייתם מאמינים לו? יש לשער שלא.

החידה הזאת מיטיבה להדגים את הדרך שבה אנו, בני האדם, הורגלנו לחשוב. חוויותיו של דור אחד, בימי אבות־אבותינו, היו דומות מאוד לחוויות הדורות שקדמו להם: הם עבדו באותן עבודות, השתמשו באותם כלים וגרו באותם מקומות כמו אבותיהם, והם ציפו שגם צאצאיהם יעשו כמוהם. אבל מאחר שבימינו התפתחות הטכנולוגיה והשינויים החברתיים מהירים כל כך עד שתמורות ניכרות עשויות להתרחש בחייו של דור אחד, יש תיאורטיקנים הסבורים שהתפתחות הטכנולוגיה עצמה מתרחשת בקצב מעריכי.

מדען המחשב וֶרנור וינג' ניסה להמחיש רעיונות שכאלה בסדרת מאמרים ורומנים של מדע בדיוני,21 שבהם חידושי הטכנולוגיה מופיעים בתדירות גוברת, עד שהטכנולוגיה החדשה מותירה את ההבנה האנושית מאחור. הפיתוח המואץ בתחום הבינה המלאכותית מביא בסופו של דבר לידי "סינגולריוּת טכנולוגית" ולהופעתה של אינטליגנציה עילית כול־יכולה ורבת עוצמה. העתידן האמריקני ריי קוּרצוַוייל ניסה לחלץ את רעיונותיו של וינג' מתחום המדע הבדיוני וליישם אותם במציאות. בספרו עידן המכונות החושבות משנת 1999 העלה קורצווייל את הרעיון בדבר "חוק התשומות המואצות".22 לטענתו, התפתחותן של מערכות רבות — ובכלל זה האבולוציה הביולוגית שלנו — מתרחשת בקצב מעריכי. הוא אפילו הרחיק לכת וקבע את מועד "הסינגולריות הטכנולוגית" של וינג' — השלב שבו נחוֶוה, כמו שהוא מתאר, "תמורות טכנולוגיות מהירות ועמוקות כל כך שיהיו בגדר קרע במארג ההיסטוריה האנושית" — לסביבות שנת 2045. אחת ההשלכות של הסינגולריות הזאת שקורצווייל חוזה היא "התמזגות האינטליגנציה הביולוגית והלא־ביולוגית, בני אדם בני אלמוות המבוססים על תוכנה, ודרגות אולטרה־גבוהות של אינטליגנציה, שמתפשטות כלפי חוץ ביקום במהירות האור."23 התחזיות החריגות והקיצוניות האלה אולי יישארו בתחום המדע הבדיוני, אבל יש דוגמאות להתפתחויות טכנולוגיות שאכן צמחו בקצב מעריכי בתקופות ממושכות.

חוק מוּר — מספר המרכיבים במעגלים אלקטרוניים של מחשבים גדל כפליים מדי שנתיים בקירוב — הוא דוגמה שמרבים לצטט על הגידול המעריכי של הטכנולוגיה. בניגוד לחוקי התנועה של ניוטון, חוק מור אינו חוק טבע, ולכן אין סיבה לשער שהוא ימשיך להתקיים לעד, אבל הוא פעל יפה למדי בין 1970 ל־2016. חוק מור מוזכר גם בהקשר של האצת הטכנולוגיה הדיגיטלית בכללותה, שתרמה תרומה חשובה לצמיחת הכלכלה בסוף המאה הקודמת ובראשית המאה הנוכחית.

בשנת 1990, כשקיבל עליו המדע למפות את כל 3 מיליארד האותיות של הגֶנום האנושי, היו מומחים שנרתעו מהיקף המיזם וטענו שיידרשו לכך אלפי שנים. אבל טכנולוגיית הריצוף השתפרה בקצב מעריכי ו"ספר החיים" השלם הוצג כבר ב־2003, לפני המועד המתוכנן ובלי לחרוג ממיליארד הדולרים שהוקצבו למיזם.24 כיום, ריצוף הקוד הגנטי השלם של אדם נעשה בתוך פחות משעה ועולה פחות מאלף דולרים.

התפוצצות האוכלוסין

חידת האצה באגם מראה שהעובדה שהחשיבה המעריכית זרה לנו עלולה להיות הסיבה לקריסתן של מערכות אקולוגית ולגידול האוכלוסייה. מין אחד ברשימת המינים הנתונים בסכנת הכחדה, למרות כל סימני האזהרה החוזרים ונשנים, הוא כמובן המין שלנו.

"המוות השחור", אחת המגפות הקטלניות ביותר בתולדות האדם (התפשטותן של מגפות תידון ביתר פירוט בפרק 7), שטף את פני אירופה בשנים 1353-1346 והרג כ־60 אחוזים מאוכלוסייתה. בסופו מנתה אוכלוסיית העולם כולו כ־370 מיליון נפש. אבל מאז עלתה אוכלוסיית העולם בהתמדה, ובשנת 1800 הגיעה לכמעט מיליארד בני אדם. הריבוי המהיר הזה של אוכלוסיית העולם באותו הזמן הניע את המתמטיקאי האנגלי תומס מַלתוּס לטעון שמספר תושבי העולם גדל בקצב יחסי לגודלו. כמו תאי העובר בראשית חייו או הכסף שמופקד בחשבון בנק, הכלל הפשוט הזה פירושו גידול מעריכי של אוכלוסיית האדם בכוכב לכת שכבר עתה הוא צפוף ביותר.

נושא חביב על מחברי ספרים וסרטים של מדע בדיוני הוא הניסיון לפתור את סוגיית גידול האוכלוסייה באמצעות מסעות בחלל (דוגמאות מן הזמן האחרון הן הסרטים שוברי הקופות "בין כוכבים" ו"הנוסעים"). ברובם נמצא כוכב לכת מתאים לחיי אדם, והוא מוכשר להתיישבותם של עודפי אוכלוסין מכדור הארץ. המדען הנודע סטיבן הוקינג, שאינו ידוע כחובב ספרות בדיונית דווקא, אמר ב־2017 שרעיון ההתיישבות בחלל אינו מופרך כלל. לדבריו, על המין האנושי להתחיל להגר מכדור הארץ בתוך 30 שנים וליישב את הירח או את מאדים, אם ברצונו להתגבר על סכנת ההכחדה המאיימת עליו בשל צפיפות יתר ושינוי האקלים הכרוך בה. ואולם, למרבה האכזבה, אם יוסיף קצב הגידול שלנו ויימשך בלי מעצור, גם אם נשגר את מחצית האוכלוסייה הנוכחית אל כוכב לכת אחר, לא יוסיף לנו הדבר אלא 63 שנים עד שהאוכלוסייה הנותרת תכפיל את עצמה שוב, ושני כוכבי הלכת יגיעו לנקודת רוויה. כבר מלתוס עצמו חזה שהגידול המעריכי יכשיל את רעיון ההתיישבות בחלל: "זרעי הקיום המוכלים במקום הזה בכדור הארץ, אם יינתן להם שפע של מזון ושפע של מרחב להתפשט בו, ימלאו מיליוני עולמות בתוך כמה אלפי שנים בלבד."25

ואולם, כמו שכבר ראינו (זכרו את החיידק המתרבה בבקבוק החלב בראשית הפרק), הגידול המעריכי של אוכלוסיות בעלי חיים אינו יכול להימשך לנצח. בדרך כלל, כשאוכלוסייה גדלה משאבי הסביבה שמקיימים אותה זמינים פחות ופחות, עד שקצב הגידול (ההפרש בין קצב הרבייה לקצב התמותה) צונח. לסביבה יש "כושר נשיאה" למין מסוים — מקסימום קבוע מראש של האוכלוסייה שיכולה להתקיים בה. דרווין הכיר בעובדה שמגבלות הסביבה יביאו לידי "מאבק קיום" והפרטים "יתחרו על מקומם בכלכלת הטבע." המודל המתמטי הפשוט ביותר לתיאור השפעות התחרות הזאת על משאבים מוגבלים בתוך מין אחד או בין כמה מינים, ידוע בכינוי "מודל הצמיחה הלוגיסטית".

איור 3: עקומת הצמיחה הלוגיסטית גדלה בתחילה כמעט במתכונת מעריכית, אבל אז הצמיחה מואטת והמשאבים נעשים גורם מגביל, והאוכלוסייה מתקרבת לנקודת "כושר הנשיאה" k.

באיור 3, הצמיחה הלוגיסטית נראית מעריכית בתחילה, כשהאוכלוסייה גדלה גידול טבעי ביחס לגודלה הנוכחי, בלי מגבלות שמטילה עליה הסביבה. אבל ככל שהאוכלוסייה גדלה, המחסור במשאבים גובר וקצב התמותה מתקרב והולך לקצב הילודה. קצב הגידול של האוכלוסייה קטן אפוא עם הזמן עד לאפס. בשלב הזה מספר הלידות מספיק רק למילוי מקומם של המתים ולא יותר, כלומר עקומת הגידול מתיישרת בנקודת כושר הנשיאה. המדען הסקוטי אנדרסון מֶקֶנדריק (אחד מהביולוגים המתמטיים הראשונים, שנלמד עליו יותר בפרק 7, בהקשר לעבודתו על דיגום התפשטותן של מחלות מידבקות), היה הראשון שהראה שצמיחה לוגיסטית מתרחשת באוכלוסיות של חיידקים.26 מאז התברר שהמודל הלוגיסטי מיטיב לחזות את התנהגותה של אוכלוסייה שנכנסת לסביבה חדשה, ומתאר את צמיחתן של אוכלוסיות מגוונות של בעלי חיים, כגון כבשים,27 כלבי ים28 ועגורים.29

במינים רבים של בעלי חיים כושר הנשיאה קבוע פחות או יותר, מפני שהם תלויים במשאבים שסביבתם מזמנת להם. אבל כשמדובר בבני אדם פעלו כמה וכמה גורמים, ובהם המהפכה התעשייתית, מיכון החקלאות והמהפכה הירוקה, שבזכותם הצליח המין שלנו להגדיל שוב ושוב את כושר הנשיאה. בימינו יש אמנם אומדנים שונים על גודל האוכלוסייה המרבית שכדור הארץ יכול לשאת, אבל נתונים רבים מרמזים שמדובר ב־9 עד 10 מיליארד בני אדם. הסוציוביולוג הנודע אדוארד א' וילסון סבור שיש גבולות קבועים ונוקשים לגודלה של אוכלוסיית האדם שהביוספרה העולמית שלנו יכולה לשאת,30 ובהם זמינותם של מים נקיים, דלק מאובנים ומשאבים מתכלים אחרים, תנאי סביבה (ובעיקר תנאים אקלימיים) ומרחב מחייה. גורם אחד שמרבים לדבר עליו הוא זמינות המזון. וילסון מעריך שגם אם כל בני האדם ייעשו צמחונים, ויאכלו את המזון במישרין במקום לתת אותו למאכל לבעלי חיים (שכן אכילת בשר אינה דרך יעילה להמיר אנרגיה צמחית לאנרגיה של מזון), שטח הקרקע הנוכחי הראוי לעיבוד (14 מיליארד דונם) לא יוכל להפיק מזון לכלכלתם של יותר מ־10 מיליארד בני אדם.

אם תוסיף אוכלוסיית האדם (כיום 7.5 מיליארד נפש בקירוב) לגדול בקצב הנוכחי (1.1% בשנה), נגיע אל רף ה־10 מיליארד בתוך 30 שנים. כבר ב־1798 הביע מלתוס את חששותיו מפני התפוצצות אוכלוסין כשאמר, "כוחה של האוכלוסייה עולה כל כך על כוחה של האדמה לפרנס את האדם, עד שמוות שלא בעתו חייב, בצורה זאת או אחרת, לפקוד את המין האנושי." מן הבחינה ההיסטורית הגענו זה כבר אל היום האחרון שבו עדיין אפשר להציל את האגם.

ואולם, יש מקום לאופטימיות. אמנם מספרם של בני האדם מוסיף לגדול, אבל בזכות פיקוח יעיל על הילודה וצמצום תמותת הילדים (שתוצאתם היא ירידה בקצב הילודה), הגידול אטי יותר משהיה בדורות הקודמים. קצב גידול האוכלוסייה האנושית הגיע לשיא של 2 אחוזים בשנה בקירוב בשלהי שנות השישים של המאה העשרים, אבל עד 2023 הוא צפוי לרדת לאחוז אחד.31 כדי להמחיש את המספרים האלה, אילו הוסיפה האוכלוסייה לגדול בשיעורי שנות השישים היא היתה מכפילה את גודלה בתוך 35 שנים בלבד (כלומר עד 2006), אבל בפועל הגענו ל־7.3 מיליארד בני אדם (כפליים מ־3.65 מיליארד, מספרם ב־1969) רק ב־2016, כמעט 50 שנים לאחר מכן. בקצב גידול של אחוז אחד בשנה אפשר לצפות שפרק הזמן עד ההכפלה הבאה יימשך 69.7 שנים, כמעט כפליים מתקופת ההכפלה לפי שיעורי הריבוי של 1969. ירידה קלה בקצב הריבוי מחוללת שינוי עצום כשמדובר בגידול מעריכי. דומה שככל שנצליח להאט את קצב הגידול בשעה שאנו הולכים ומתקרבים אל כושר הנשיאה של כדור הארץ, נזכה בזמן שאול נוסף. ואולם, יש סיבות שההתנהגות המעריכית גורמת לנו, בתור יחידים, להרגיש שזמננו מועט משנדמה לנו.

הזמן טס כשמזדקנים

אתם זוכרים שכשהייתם צעירים יותר דומה היה שחופשות הקיץ נמשכות לנצח? לילדיי, בני שש וארבע, נראית ההמתנה בין חג מולד אחד למשנהו כפרק זמן בלתי נתפס. לעומת זה, ככל שאני מזקין הזמן חולף כמדומה במהירות מפחידה, הימים מתלכדים לשבועות ולחודשים ונשאבים לבור חסר התחתית של העבר. כשאני משוחח פעם בשבוע עם הוריי, שהם בשנות השבעים לחייהם, הם מעוררים בי את הרושם שרק בקושי יש להם זמן להשיב על השיחה, כל כך עסוקים הם בענייניהם האחרים בסדר היום העמוס שלהם. אבל כשאני שואל אותם איך עבר עליהם השבוע דומה שכל פעילותם הקדחתנית שקולה למלאכת יום אחד בחיי שלי. ובעצם, מנין לי לדעת מהי התמודדות אמיתית עם לחצי הזמן, שהרי יש לי שני ילדים בלבד, עבודה במשרה מלאה וספר לכתוב.

עליי לזכור שלא להיות עוקצני כלפי הוריי, מפני שנראה שהזמן הנתפס באמת רץ מהר יותר ככל שאנו מזדקנים, מה שמחריף את ההרגשה המעיקה של זמן קצוב ועמוס.32 בניסוי שנעשה ב־1996 התבקשו שתי קבוצות של בני אדם, צעירים בני תשע־עשרה עד עשרים וארבע ומבוגרים בני שישים עד שמונים, להעריך מתי עברו 3 דקות. הצעירים אכן השיגו תוצאה כמעט מושלמת של 3 דקות ו־3 שניות של זמן אמיתי בממוצע, ואילו המבוגרים האריכו את הזמן עד 3 דקות ו־40 שניות בממוצע.33 בניסויים אחרים מאותו הסוג התבקשו המשתתפים להעריך את משכו של פרק זמן קבוע שבו הוטל עליהם לבצע משימה כלשהי.34 המשתתפים המבוגרים יותר העריכו בעקביות את חוויית הזמן שלהם במשכי זמן קצרים יותר מהמשתתפים הצעירים. לדוגמה, כעבור 2 דקות של זמן ממשי נראָה למשתתפים המבוגרים יותר שעברו פחות מ־50 שניות בלבד, בממוצע, והם תהו לאן נעלמו שאר 70 השניות.

ההאצה הזאת בתפיסת הזמן החולף אינה קשורה דווקא לשאננות ולפנאי של הנעורים, לעומת האחריות ולוחות הזמנים העמוסים של ימי הבגרות. לאמיתו של דבר, יש כמה רעיונות מתחרים המנסים להסביר למה נדמה לנו שהזמן מאיץ את מהלכו ככל שאנו מזדקנים. לפי השערה אחת הדבר קשור בקצב חילוף החומרים שלנו, שמאט עם השנים, ועמו קצב פעימות הלב והנשימה שלנו.35 כמו שעון עצר מואץ, גרסת הילדים של ה"שעון הביולוגי" מתקתקת מהר יותר. באותו פרק זמן קצוב הם חווים יותר קצבים ביולוגיים (נשימות או פעימות לב, לדוגמה), ולכן הם חשים כאילו עבר זמן רב יותר.

תיאוריה אחרת טוענת שתפיסת מעבר הזמן תלויה בכמות המידע התפיסתי החדש שאנו נחשפים לו מצד הסביבה.36 ככל שכמות הגירויים גדולה יותר כן נדרש למוחנו זמן רב יותר לעבד את המידע החדש, ולכן פרק הזמן שעובר נדמה, לפחות בדיעבד, כאילו היה ממושך יותר. הטענה הזאת אולי מסבירה את תפיסת המאורעות הדומה לסרט בהילוך אטי שאנו חווים ברגעים שלפני תאונה. מבחינת האדם שנפגע בתאונה הנסיבות זרות כל כך עד שמוחו נשטף בכמות עצומה של מידע תפיסתי חדש. ייתכן שלא הזמן עצמו מאט את מהלכו בזמן המאורע אלא זיכרון המאורעות שלנו הוא שמואט בדיעבד, כדי שמוחנו יקלוט זיכרונות מפורטים רבים יותר מתוך מבול המידע שחווה. ניסויים בבני אדם שנחשפו לתחושות לא מוכרות של נפילה חופשית הראו שאכן כך הדבר.37

התיאוריה הזאת עולה בקנה אחד עם תפיסת הזמן המואץ. ככל שאנו מתבגרים אנו מכירים יותר את סביבתנו ואת חוויות החיים בכללותם. נסיעותינו היומיות נראו לנו בתחילה ממושכות ומאתגרות ומלאות במראות חדשים ובהזדמנויות לטעות, ואילו עתה המראות חולפים על פנינו במהירות, ואנו מנווטים בדרכים המוכרות כמעט בלי לתת עליהם את הדעת.

לא כך הדבר אצל ילדים. עולמם שופע מקומות מפתיעים, רוויים בחוויות לא מוכרות. צעירים שבים ומעצבים את המודל הפנימי המתאר את העולם שסביבם, והדבר מצריך מאמץ נפשי ודומה שבשל כך גרגירי החול ניגרים לאט בשעוני החול שלהם יותר מבשעוניהם של מבוגרים שחייהם שגורים. ככל שאנו מיטיבים להכיר את שגרת היום־יום שלנו כן נדמה לנו שהזמן חולף מהר יותר, ובהכללה, ככל שאנו מזדקנים, דרגת ההיכרות שלנו עם העולם גוברת. לפי ההשערה הזאת, אם יש ברצוננו להאריך את הזמן שלנו עלינו למלא את חיינו בחוויות חדשות ומגוונות ולהימנע ככל האפשר משגרת יום־יום שוחקת.

אף אחת מן התיאוריות האלה אינה מסבירה את הקצב הקבוע, הכמעט מושלם, שבו תפיסת הזמן שלנו מואצת. עצם הדבר שככל שאנו מזדקנים נדמה לנו שאורכו של פרק זמן קבוע מתקצר, מרמז על "סולם מעריכי" של הזמן. אנו מפעילים סולמות מעריכיים במקום סולמות ליניאריים מסורתיים כשאנו מודדים גדלים שמשתנים בטווח עצום של ערכים שונים. הדוגמאות הידועות ביותר הן הסולמות למדידת גלי אנרגיה כדוגמת קול (שנמדד בדֶציבֶּלים) או פעילות סֵייסמית. בסולם ריכטר המעריכי (למדידת עוצמתה של רעידת אדמה) עלייה מגודל 10 לגודל 11 פירושה תנועת קרקע עזה פי 10, ולא עלייה של 10 אחוזים כמו בסולמות ליניאריים. בקצהו התחתון רשם סולם ריכטר את הרעידה החלשה שהורגשה במקסיקו סיטי ביוני 2018, אז חגגו אוהדי כדורגל מקסיקנים את הניצחון על גרמניה באליפות העולם, ובקצה האחר את רעידת האדמה בוַולדיביה שבצ'ילה בשנת 1960 — רעידת אדמה בעוצמה 9.6 בסולם ריכטר, ששחררה אנרגיה השקולה ליותר מרבע מיליון פצצות אטום מן הסוג שהוטל על הירושימה.

אם אורכו של פרק זמן נמדד ביחס לזמן שכבר חיינו, כי אז יש היגיון במודל המעריכי של הזמן הנתפס. בתור איש בן שלושים וארבע, כל שנה היא קצת פחות מ־3 אחוזים מכלל חיי, וימי ההולדת שלי אכן צצים ובאים בתדירות גבוהה מדי בימים אלה. אבל ילד בן עשר ימתין 10 אחוזים מחייו עד למחזור המתנות הבא, והדבר דורש ממנו סבלנות של קדוש. לבני בן הארבע הרעיון שעליו לחכות כרבע מכלל חייו עד שישוב להיות ילד יום הולדת קשה מנשוא. לפי המודל המעריכי הזה, העלייה היחסית בגיל שחווה בן ארבע מיום הולדת אחד למשנהו, שקולה לזמן שעל בן ארבעים להמתין עד שימלאו לו חמישים. כשמסתכלים על הדברים מבעד לעדשת היחסיות הזאת אפשר להבין למה אנו מרגישים שהזמן מאיץ את מהלכו ככל שאנו מתבגרים.

נוהג נפוץ הוא לחלק את תקופת חיינו לעשורים — שנות העשרים ההוללות, שנות השלושים הרציניות וכן הלאה — מה שמעלה על הדעת שלכל עשור יש משקל שווה. אבל אם הזמן באמת נתפס בעינינו כאילו הוא חולף מהר יותר במתכונת מעריכית, אולי כדאי יותר לחלק את חיינו לפרקים באורכים מוחלטים שונים, שייראו לנו בני אורך שווה. לפי המודל המעריכי אפשר שתקופות הגיל חמש עד עשר, עשר עד עשרים, עשרים עד ארבעים ואפילו ארבעים עד שמונים ייראו לנו ארוכות (או קצרות) באותה מידה. אין צורך לרוץ להכין רשימת משימות להספיק לפני המוות, אבל לפי המודל הזה, 40 השנים שבין הגילים ארבעים לשמונים, הכוללות את רוב גיל העמידה וחלק מן הזקנה, עלולות לחלוף על פנינו באותה מהירות כמו השנים שבין יום ההולדת החמישי ליום ההולדת העשירי שלנו.

הגמלאיות פוקס וצ'למרס, הכלואות בגין ניהול הונאת הפירמידה "תן וקח", אולי יתנחמו מעט בעובדה שבזכות השגרה שבחיי הכלא, ושמא רק בזכות ההאצה המעריכית במהירות הזמן הנתפס, יעבור עליהן גזר הדין מהר מאוד.

בסך הכול נידונו תשע נשים על חלקן בהונאה. מקצתן אמנם אולצו להחזיר את הכסף שהרוויחו מן התוכנית, אבל רק חלק קטן ממיליוני הלירות סטרלינג שהושקעו בתוכנית נמצא והוחזר. ואף פרוטה לא חזרה לידיהם של המשקיעים המרומים, הקורבנות התמימים שאיבדו את כל כספם מפני שלא העריכו נכונה את עוצמתו של הגידול המעריכי.

מהתפוצצות כור גרעיני ועד התפוצצות האוכלוסייה האנושית, מהתפשטותו של נגיף ועד התפשטותה של מערכת שיווק ויראלית, הצמיחה והדעיכה המעריכיות ממלאות תפקיד נסתר, אבל לא פעם גורלי בחייהם של בני אדם מן השורה כמוכם וכמוני. תחומי מדע שמנצלים את ההתנהגות המעריכית עשויים להביא לידי הרשעת פושעים ואפילו להחריב עולמות, פשוטו כמשמעו. אם לא נביא בחשבון את הגורם המעריכי עלולות החלטותינו, כמו תגובת שרשרת לא מבוקרת בכור גרעיני, להניב תוצאות לא צפויות ומרחיקות לכת. בין שאר החידושים שבעקבות הקצב המעריכי של התקדמות הטכנולוגיה, הואצה גם התפתחותו של עידן הרפואה האישית, שבה נעשה ריצוף די־אן־איי לכל אדם תמורת סכום סביר. המהפכה הגנומית הזאת עשויה לתרום תובנות חסרות תקדים לדרכי הטיפול במחלותינו, כמו שנראה בפרק הבא, אם תצליח המתמטיקה שביסוד הרפואה המודרנית לעמוד בקצב.

4 כלומר, בכל שלב הערך החדש הוא מכפלה של הערך הקיים במספר חיובי גדול מ–1. (המתרגם)

5. S. G. Botina, A. M. Lysenko, & V. V. Sukhodolets, “Elucidation of the Taxonomic Status of Industrial Strains of Thermophilic Lactic Acid Bacteria by Sequencing of 16S rRNA Genes,” Microbiology, 74(4), (2005): 448–452, https://doi.org/10.1007/s11021-005-0087-7

6. A. M. Cárdenas, K. A. Andreacchio, & P. H. Edelstein, “Prevalence and detection of mixed-population enterococcal bacteremia,” Journal of Clinical Microbiology, 52(7) (2014), 2604–2608, https://doi.org/10.1128/JCM.00802-14; M. M. C. Lam, T. Seemann, N. J. Tobias, et al., “Comparative analysis of the complete genome of an epidemic hospital sequence type 203 clone of vancomycin-resistant Enterococcus faecium,” BMC Genomics, 14, (2013): 595, https://doi.org/10.1186/1471-2164-14-595

7 באנגלית משתמשים באותה מילה, fission, לתיאור שני התהליכים. (המתרגם)

8. H. Von Halban, F. Joliot, & L. Kowarski, “Number of Neutrons Liberated in the Nuclear Fission of Uranium,” Nature, 143(3625), (1939): 680–680, https://doi.org/10.1038/143680a0

9. J. Webb, “Are the laws of nature changing with time?” Physics World, 16(4), (2003): 33–38, https://doi.org/10.1088/2058-7058/16/4/38

10. J. Bernstein, Nuclear weapons: what you need to know (Cambridge University Press, 2008)

11. דוח הוועדה לאנרגיה אטומית, 1996, עשר שנים אחרי אסון צ'רנוביל: “what do we really know?” In proceedings of the IAEA/WHO/EC International conference: One Decade after Chernobyl: Summing Up the Consequences (Vienna: International Atomic Energy Agency)

12. D. J. Greenblatt, “Elimination Half-Life of Drugs: Value and Limitations,” Annual Review of Medicine, 36(1), (1985): 421–427, https://doi.org/10.1146/annurev.me.36.020185.002225; I. M. Hastings, W. M. Watkins, & N. J. White, “The evolution of drug-resistant malaria: the role of drug elimination half-life,” Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series B: Biological Sciences, 357(1420), (2002): 505–519, https://doi.org/10.1098/rstb.2001.1036

13. A. Leike, “Demonstration of the exponential decay law using beer froth,” European Journal of Physics, 23(1), (2002): 21–26, https://doi.org/10.1088/0143-0807/23/1/304; N. Fisher, “The physics of your pint: head of beer exhibits exponential decay,” Physics Education, 39(1), (2004): 34–35, https://doi.org/10.1088/0031-9120/39/1/F11

14. E. Rutherford, & F. Soddy, “The cause and nature of radioactivity – Part II,” The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 4(23), (1902): LXIV, 569–585, https://doi.org/10.1080/14786440209462881; E. Rutherford, & F. Soddy, “The cause and nature of radioactivity – Part I,” The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 4(21), (1902): XLI, 370–396, https://doi.org/10.1080/14786440209462856

15. G. Bonani, S. Ivy, W. Wölfli, M. Broshi, I. Carmi, & J. Strugnell, “Radiocarbon Dating of Fourteen Dead Sea Scrolls,” Radiocarbon, 34(03), (1992): 843–849, https://doi.org/10.1017/S0033822200064158; I. Carmi, “Radiocarbon Dating of the Dead Sea Scrolls,” In L. Schiffman, E. Tov, & J. VanderKam (eds.), The Dead Sea Scrolls: Fifty Years after their Discovery. 1947–1997 (2000), 881; G. Bonani, M. Broshi, & I. Carmi, “14 Radiocarbon Dating of the Dead Sea Scrolls,” Atiqot, Israel Antiquities Authority

16. C. Starr, R. Taggart, C. A. Evers, & L. Starr, Biology: the unity and diversity of life (Cengage Learning, 2019)

17. G. Bonani, S. D. Ivy, I. Hajdas, et al., “Ams 14C Age Determinations of Tissue, Bone and Grass Samples from the Ötztal Ice Man,” Radiocarbon, 36(02), (1994): 247–250, https://doi.org/10.1017 /S0033822200040534

18. B. Keisch, R. L. Feller, A. S. Levine, & R. R. Edwards, “Dating and authenticating works of art by measurement of natural alpha emitters,” Science (New York, N.Y.), 155(3767), (1967): 1238–1242, https://doi.org/10.1126/science.155.3767.1238

19 "השמלה" (#thedress) הוא תצלום של שמלת אישה שהופץ באינטרנט בפברואר 2015, והגולשים לא הצליחו להגיע לכלל הסכמה על צבעיה; Rickrolling הוא מתיחת אינטרנט, שראשיתה בסרטון יו־טיוב מ־2008 שבו נראה הזמר ריק אַסטלי מבצע את להיטו "לעולם לא אוותר עלייך" משנת 1987; הסרטון הופץ באמצעות קישור חסר הֶקשר מאתרים אחרים. (המתרגם)

20. K. P. Kenna, P. T. C. van Doormaal, A. M. Dekker, et al., “NEK1 variants confer susceptibility to amyotrophic lateral sclerosis,” Nature Genetics, 48(9), (2016): 1037–1042, https://doi.org/10.1038/ng.3626

21. V, Vinge, Marooned in realtime, (Bluejay Books/St. Martin’s Press, 1986); Idem, A fire upon the deep (Tor books, 1992); Idem, “The coming technological singularity: How to survive in the post-human era,” In NASA, Lewis Research Center, Vision 21: Interdisciplinary Science and Engineering in the Era of Cyberspace, 1993: 11–22, https://ntrs.nasa.gov/search.jsp?R=19940022856

22. ריי קורצווייל, עידן המכונות החושבות, תרגמה בת־שבע מנס (תל אביב: כינרת, 2001).

23. Ray Kurzweil, “The Law of Accelerating Returns,” in C. Teuscher (ed.), Alan Turing: Life and Legacy of a Great Thinker (Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2004), 381–416, https://doi.org/10.1007/978-3-662-05642-4_16

24. S. G. Gregory, K. F. Barlow, K. E. McLay, et al., “The DNA sequence and biological annotation of human chromosome 1,” Nature, 441(7091), (2006): 315–321, https://doi.org/10. 1038/nature04727; International Human Genome Sequencing Consortium, “Initial sequencing and analysis of the human genome,” Nature, 409(6822), (2001): 860–921, https://doi.org/10.1038/35057062; E. Pennisi, “The human genome,” Science (New York, N.Y.), 291(5507), (2001): 1177–1180, https://doi.org/10.1126/SCIENCE.291.5507.1177

25. R. Thomas, & G. Gilbert (eds.), T. R. Malthus: An essay on the principle of population (Oxford University Press, 2008)

26. A. G. McKendrick, & M. K. Pai, “The Rate of Multiplication of Micro-organisms: A Mathematical Study,” Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 31, (1912): 649–653, https://doi.org/10.1017/S0370164600025426

27. J. Davidson, “On the ecology of the growth of the sheep population in South Australia,” Trans. Roy. Soc. S. A., 62(1), (1938): 11–148; J. Davidson, “On the growth of the sheep population in Tasmania,” Trans. Roy. Soc. S. A., 62(2), (1938): 342–346.

28. S. Jeffries, H. Huber, J. Calambokidis, & J. Laake, “Trends and Status of Harbor Seals in Washington State: 1978-1999,” The Journal of Wildlife Management, 67(1), (2003): 207, https://doi.org/10.2307/3803076

29. M. N. Flynn, & W. R. L. S. Pereira, “Ecotoxicology and environmental contamination,” Ecotoxicology and Environmental Contamination, 8(1), (2013): 75–85

30. E. O. Wilson, The future of life (New York: Alfred A.Knopf, 2002)

31. A. E. Raftery, L. Alkema, & P. Gerland, “Bayesian Population Projections for the United Nations,” Statistical Science: A Review Journal of the Institute of Mathematical Statistics, 29(1), (2014): 58–68, https://doi.org/10.1214/13-STS419; A. E. Raftery, N. Li, H. Ševčíková, et al., “Bayesian probabilistic population projections for all countries,” Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 109(35), (2012): 13915–13921, https://doi.org/10.1073/pnas.1211452109; United Nations Department of Economic and Social Affairs Population Division, 2017, World Population Prospects: The 2017 Revision, Key Findings and Advance Tables., ESA/P/WP/2

32. R. A. Block, D. Zakay, & P. A. Hancock, “Developmental Changes in Human Duration Judgments: A Meta-Analytic Review,” Developmental Review, 19(1), (1999): 183–211, https://doi.org/10.1006/DREV.1998.0475

33. P. Mangan, P. Bolinskey, & A. Rutherford, “Underestimation of time during aging: The result of age-related dopaminergic changes,” In Annual Meeting of the Society for Neuroscience (1997)

34. F. I. M. Craik, & J. F. Hay, “Aging and judgments of duration: Effects of task complexity and method of estimation,” Perception & Psychophysics, 61(3), (1999): 549–560, https://doi.org/10.3758/BF03211972

35. R. M. Church, “Properties of the Internal Clock,” Annals of the New York Academy of Sciences, 423(1), (1984): 566–582, https://doi.org/10.1111/j.1749-6632.1984.tb23459.x; F. I. M. Craik, & J. F. Hay, “Aging and judgments of duration: Effects of task complexity and method of estimation,” Perception & Psychophysics, 61(3), (1999): 549–560, https://doi.org/10.3758/BF03211972; J. Gibbon, R. M. Church, & W. H. Meck, “Scalar Timing in Memory,” Annals of the New York Academy of Sciences, 423(1) (1984): 52–77, https://doi.org/10.1111/j.1749

36. E. Pennisi, “The human genome,” Science (New York, N.Y.), 291(5507), (2001): 1177–1180, https://doi.org/10.1126/SCIENCE.291.5507.1177

37. C. Stetson, M. P. Fiesta, & D. M. Eagleman, “Does Time Really Slow Down during a Frightening Event?" PLoS ONE, 2(12), (2007): e1295, https://doi.org/10.1371/journal.pone. 0001295